机械工程测试技术基础习题解答
教材：机械工程测试技术基础，熊诗波 黄长艺主编，机械工业出版社，2006年9月第3版第二次印刷。
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0T02 2 … ?T0 0 T0 t -A 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
??A (?T0?t?
x(t)????20)
? A (0?t?T0??2)
积分区间取（-T/2，T/2）
T0T0c1n?2dt=1?jn?0t2
T?T0x(t)e?jn?0t0?2Tdt+1?jn?0t0?0?T0?Ae2T0dt0?Ae =jA
n?(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, )所以复指数函数形式的傅里叶级数为 ?
x(t)?jn?0t??jA??1?(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, 。
n?cne???n???n?
??cAnI??n?(1?cosn?) (n=0, ?1, ?2, ?3, )
??cnR?0?2A
cn?c2nR?c2?A nnIn?(1?cosn?)???n???1,?3,?, ??0 n?0,?2,?4,?6, 1
?π??2n??1,?3,?5,
φ?arctanc?nIc???πnn??1,?3,?5,
nR?2??0n?0,?2,?4,?6,?没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| φn 2A/π 2A/π π/2 2A/3π 2A/3π ω2A/5π 0 3ω0 5ω0 2A/5π -5ω0 -3ω0 -ω0 ω -5ω0 -3ω0 -ω0 ω0 3ω0 5ω0 ω -π/2 幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。
T
解答：μ1T1T2xsinωtdt??2x0Tx??x(t)dt??x02TTωcosωt020T0sinωtdt?0T??4x02x00Tω?π
x?1Tx2(t)dt?1Tx22x20rmsT?0T?00sinωtdt?T?T1?cos2ωtdt?x0022 1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。
解答：
X(f)???x(t?j2?(a?j2?f)tft??)edt????at?j2?ftdt?Ae??A0Aee?(a?j2?f)a?j2?f?A(a?j2?f)0?a2?(2?f)2
X(f)?ka2?(2?f)2
?(f)?arctanImX(f)ReX(f)??arctan2?fa
2
|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
b)阶跃函数
t u(t) 1 0 t
??1t?0 x(t)?sgn(t)???1t?0?t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0 t?0x(t)?sgn(t)?limx1(t)
X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt???eate?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j????0?0?4?f
a2?(2?f)2X(f)?F?sgn(t)??limX1(f)??ja?01 ?fX(f)?1 ?f 3
?????(f)??2?????2f?0
f?0x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
b)阶跃函数频谱
符号函数频谱
?1t?0 u(t)???0t?0在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
解法1：利用符号函数
u(t)?11?sgn(t) 2211?1?1?1??1?1U(f)?F?u(t)??F???F?sgn(t)???(f)???j??(f)?j???
2222?f2?f??????U(f)?11?2(f)? 22??f?结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料
之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)|
φ(f) π/2 0 -π/2 f
单位阶跃信号频谱
解法2：利用冲激函数
f (1/2) 0
4
?1t?0时 u(t)???(?)d?????0t?0时?t根据傅里叶变换的积分特性
t111?1? U(f)?F???(?)d????(f)??(0)?(f)???(f)?j?????j2?f??22??f?1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?T
x(t) 1
解：x(t)?w(t)cos(2?f0t) w(t)为矩形脉冲信号
-T 0 T t W(f)?2Tsinc(2?Tf)
1j2?f0t?j2?f0t e?e211j2?f0t所以x(t)?w(t)e?w(t)e?j2?f0t
22cos(2?f0t)???-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得：
11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]-T 0 图1-26 被截断的余弦函数
T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atf0 f
sinω0t的频谱
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测试专业技术与信号处理课后答案
