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一、填空题
量u
1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)已知三维线性空间的一组基底为a1?(1,1,0),a2?(1,0,1),a3?(0,1,1),则向
?(2,0,0)在上述基底下的坐标是 .
【考点】向量在基下的坐标.
?x1?x2?2,?解 方法一:设u?x1a1?x2a2?x3a3,得方程组?x1?x3?0,解得x1?1,x2?1,x3??1.
?x?x?0,?23?a1???方法二:u?x1a1?x2a2?x3a3?(x1,x2,x3)a2,解矩阵方程得x1?1,x2?1,x3??1.
???a??3?【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的. 2.(1988—Ⅰ,Ⅱ)设4?4矩阵
A?(?,?2,?3,?4),B?(?,?2,?3,?4),其中?,?,?2,?3,?4均
为4维列向量,且已知行列式
A?4,B?1,则行列式A?B? .
【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质. 解
A?B????2?22?32?4?8????2?3?4?8(A?B)?40.
【注意】
A?B?A?B.
1110 3.(1988—Ⅳ,Ⅴ)
110110110111? .
【考点】行列式的计算.
1110
方法一:
1?001011?30010101110?10?100100110100110011?1110011100120003?3.
110110110111?110?10?1?114(4?1)21111
方法二: D?3110110110111?10?3(?1)1?(?1)?(?1)?(?1)?3.
?1 【注】副对角行列式
专业资料.
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?1
?2?n?(?1)n(n?1)2?1?2?n.
?0?04.(1988—Ⅳ,Ⅴ)??0??1【考点】求逆矩阵.
001?010??? . 100??000?0000001?1000010??,所以 0100100??0011000??1
?0?0解 方法一:??0??10011000??1?0r0100100????1000010??0??0000001??0?1
?0?0??0??1001??0?0010?????0100???000??1?1001?010??. 100??000? 方法二:利用分块矩阵求逆公式得到.
?O?OA??【注】???1??BO??AB?1??. O?方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一
类初等矩阵E(1,4).
【注】E?1
(i,j)?E(i,j).
?300??100??????15.(1989—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵A?140,I?010,则逆矩阵(A?2I)? .
???????003???001??【考点】分块矩阵求逆.
?1100???B?1O??1?BO????1?解 A?2I?120????O1??(A?2I)??O1????2??????001???0??A?1?AO?【注】(1) ????OB???O?100??10?. 2?01??
O?; ?1?B? 专业资料.
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?d?b??1??ca??ab???. ?(2) ??ab?cd?cd
??x1?x2?x3?0,?6.(1989—Ⅳ)齐次线性方程组?x1??x2?x3?0,只有零解,则?应满足的条件是 .
?x?x?x?0?123【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 n个方程n个未知数的齐次线性方程组
即
An?nXn?1?On?1只有零解?R(A)?n?A?0,
?
11111?1?1x?1?11x?111x?x?(?1)4?32A?1?1?(??1)2?0???1.
11x?111x?1?1?1?1c1?xx?1?1?1?11?x11?1?1?11x?111x?1?1?1?1
7.(1989—Ⅴ)行列式
11x?1? .
【考点】行列式的计算.
x
解 Dc1?cj2?j?4?1?1x?1?1x0?xxx1x?1c2?c1c3?c110010
c4?c1?x1x001000x?x?x?1?x4.
8.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组
?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是 .
【考点】向量组秩的计算.
??1??1????22解 A???????3??3?????4??4234??1r?1345????456??0??567??0234?111???R(A)?2. 000??000? 专业资料.
线性代数历年考研试题之填空题
