第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、知识梳理 1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
正角 按旋转方向 负角 零角 按逆时针方向旋转而成的角 按顺时针方向旋转而成的角 射线没有旋转 前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合 按终边位置 象限角 其他 角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角 角的终边落在坐标轴上 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 l|α|＝ r180?π1°＝rad，1 rad＝??π?°≈57°18′ 180l＝|α|·r 11S＝l·r＝|α|·r2 223.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 y叫做α的正弦，记作sin α Ⅰ 各象限符号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀 正 正 负 负 x叫做α的余弦，记作cos α 正 负 负 正 一全正，二正弦，三正切，四余弦 y叫做α的正切，记作xtan α 正 负 正 负 三角函数线 有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线 常用结论 1．象限角
2．轴线角
3．三角函数定义的推广
yx
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，rry
tan α＝.
x
二、习题改编
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限．
5π
答案：－ 二
4
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝ ．
11答案：
5
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度．
π答案：
3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) π
0，?，则tan α＞sin α.( ) (5)若α∈??2?(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)终边相同的角理解出错； (2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
9π
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
4A．2kπ＋45°(k∈Z) 9πB．k·360°＋(k∈Z)
4C．k·360°－315°(k∈Z) 5π
D．kπ＋(k∈Z)
4
π
解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ
4或k·360°＋45°(k∈Z).
2．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝ ．
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，y－x
由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
xx
答案：－1
象限角及终边相同的角(典例迁移)
ππ
(1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
42
α
(2)若角α是第二象限角，则是( )
2A．第一象限角 C．第一或第三象限角
B．第二象限角 D．第二或第四象限角
ππππ
【解析】 (1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，n∈Z，此时α的终边和≤α≤
4242ππππ
的终边一样；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋
4242的终边一样．故选C.
ππαπ
(2)因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈
2422αα
Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
22
【答案】 (1)C (2)C
【迁移探究】 (变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？
解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；
③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
76545得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
360360从而得k＝－2和k＝－1， 代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°
cos α
2．若sin α·tan α<0，且<0，则α是第 象限角．
tan α
2024版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word
