?若y?f?g(x)?,则y????f?g(x)????f??g(x)??g?(x)
三.典例分析
例1求y =sin(tan x2)得导数. 【点评】
求复合函数得导数,关键在于搞清楚复合函数得结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果. 例2求y =
x?ax?2ax2得导数.
【点评】本题练习商得导数与复合函数得导数.求导数后要予以化简整理. 例3求y =sin4x +cos 4x得导数.
【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-=1-
12
sin2 x 2131(1-cos 4 x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x. 444【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】
解法一就是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二就是利用复合函数求导数,应注意不漏步.
例4曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y =x得切线,求此二切线之间得距离. 【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2 令y′=1即3 x2-2 x -1=0,解得 x =-于就是切点为P(1,2),Q(-
1或x =1. 3114,-), 327过点P得切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.
114|???1|16327显然两切线间得距离等于点Q 到此切线得距离,故所求距离为=2. 272四.课堂练习
1.求下列函数得导数 (1) y =sinx3+sin33x;(2)y?2、求ln(2x?3x?1)得导数 五.回顾总结
六.布置作业
2sin2x2;(3)loga(x?2) 2x?1§1、3、1函数得单调性与导数(2课时)
教学目标:
1.了解可导函数得单调性与其导数得关系;
2.能利用导数研究函数得单调性,会求函数得单调区间,对多项式函数一般不超过三次; 教学重点:利用导数研究函数得单调性,会求不超过三次得多项式函数得单调区间 教学难点: 利用导数研究函数得单调性,会求不超过三次得多项式函数得单调区间 教学过程: 一.创设情景
函数就是客观描述世界变化规律得重要数学模型,研究函数时,了解函数得赠与减、增减得快与慢以及函数得最大值或最小值等性质就是非常重要得.通过研究函数得这些性质,我们可以对数量得变化规律有一个基本得了解.下面,我们运用导数研究函数得性质,从中体会导数在研究函数中得作用. 二.新课讲授
1.问题:图3、3-1(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化得函数h(t)??4.9t?6.5t?10得图像,图3、3-1(2)表示高台跳水运动员得速度v随时间t变化得函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5得图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间得运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到最高点,离水面得高度h随时间t得增加而增加,即h(t)就是增函数.相应
地,v(t)?h(t)?0.
(2) 从最高点到入水,运动员离水面得高度h随时间t得增加而减少,即h(t)就是减函数.相应
地,v(t)?h(t)?0.
2.函数得单调性与导数得关系
观察下面函数得图像,探讨函数得单调性与其导数正负得关系.
'如图3、3-3,导数f(x0)表示函数f(x)在
2'''点(x0,y0)处得切线得斜率.
'在x?x0处,f(x0)?0,切线就是“左下右上”式得,
这时,函数f(x)在x0附近单调递增;
'在x?x1处,f(x0)?0,切线就是“左上右下”式得,
这时,函数f(x)在x1附近单调递减. 结论:函数得单调性与导数得关系
在某个区间(a,b)内,如果f(x)?0,那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)?0,那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减.
''说明:(1)特别得,如果f(x)?0,那么函数y?f(x)在这个区间内就是常函数. 3.求解函数y?f(x)单调区间得步骤: (1)确定函数y?f(x)得定义域; (2)求导数y?f(x);
(3)解不等式f(x)?0,解集在定义域内得部分为增区间; (4)解不等式f(x)?0,解集在定义域内得部分为减区间. 三.典例分析
例1.已知导函数f(x)得下列信息: 当1?x?4时,f(x)?0; 当x?4,或x?1时,f(x)?0; 当x?4,或x?1时,f(x)?0 试画出函数y?f(x)图像得大致形状.
解:当1?x?4时,f(x)?0,可知y?f(x)在此区间内单调递增; 当x?4,或x?1时,f(x)?0;可知y?f(x)在此区间内单调递减; 当x?4,或x?1时,f(x)?0,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”. 综上,函数y?f(x)图像得大致形状如图3、3-4所示. 例2.判断下列函数得单调性,并求出单调区间.
(1)f(x)?x?3x; (2)f(x)?x?2x?3 (3)f(x)?sinx?xx?(0,?); (4)f(x)?2x?3x?24x?1 解:(1)因为f(x)?x?3x,所以, f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此,f(x)?x?3x在R上单调递增,如图3、3-5(1)所示.
'(2)因为f(x)?x?2x?3,所以, f(x)?2x?2?2?x?1?
23'2233232''''''''''''当f(x)?0,即x?1时,函数f(x)?x?2x?3单调递增;
'2当f(x)?0,即x?1时,函数f(x)?x?2x?3单调递减; 函数f(x)?x?2x?3得图像如图3、3-5(2)所示.
(3)因为f(x)?sinx?xx?(0,?),所以,f(x)?cosx?1?0
因此,函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减,如图3、3-5(3)所示. (4)因为f(x)?2x?3x?24x?1,所以 .
当f(x)?0,即 时,函数f(x)?x?2x?3 ; 当f(x)?0,即 时,函数f(x)?x?2x?3 ; 函数f(x)?2x?3x?24x?1得图像如图3、3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
例3 如图3、3-6,水以常速(即单位时间内注入水得体积相同)注入下面四种底面积相同得容器中,请
分别找出与各容器对应得水得高度h与时间t得函数关系图像.
分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器得情况. 解:?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?
思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以瞧出函数得增减,还可以瞧出其变化得快慢.结合图像,您能从导数得角度解释变化快慢得情况吗?
一般得,如果一个函数在某一范围内导数得绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,函数得图像就比较“陡峭”; 反之,函数得图像就“平缓”一些.
如图3、3-7所示,函数y?f(x)在?0,b?或?a,0?内得图像“陡峭”, 在?b,???或???,a?内得图像“平缓”. 例4
求证:函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内就是减函数.
3232'2'232'2'2证明:因为y'?6x2?6x?12?6x2?x?2?6?x?1??x?2?
'当x???2,1?即?2?x?1时,y?0,所以函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内就是减函数.
32??说明:证明可导函数f?x?在?a,b?内得单调性步骤: (1)求导函数f(2)判断f''?x?;
?x?在?a,b?内得符号;
'(3)做出结论:f?x??0为增函数,f'?x??0为减函数.
例5
'已知函数 f(x)?4x?ax?2223x(x?R)在区间??1,1?上就是增函数,求实数a得取值范围. 3'解:f(x)?4?2ax?2x,因为f?x?在区间??1,1?上就是增函数,所以f(x)?0对x???1,1?恒成立,即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立,解之得:?1?a?1
2所以实数a得取值范围为??1,1?.
说明:已知函数得单调性求参数得取值范围就是一种常见得题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则f(x)?0;若函数单调递减,则f(x)?0”来求解,注意此时公式中得等号不能省略,否则漏解. 四.课堂练习
1.求下列函数得单调区间
1、f(x)=2x3-6x2+7 2、f(x)=2.课本 练习 五.回顾总结
(1)函数得单调性与导数得关系 (2)求解函数y?f(x)单调区间
(3)证明可导函数f?x?在?a,b?内得单调性 六.布置作业
''1+2x 3、 f(x)=sinx , x?[0,2?] 4、 y=xlnx x
高中数学选修2-2教案(人教A版全套)
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