?若y?f?g(x)?，则y????f?g(x)????f??g(x)??g?(x)
三．典例分析
例1求y ＝sin（tan x2）得导数． 【点评】
求复合函数得导数，关键在于搞清楚复合函数得结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝
x?ax?2ax2得导数．
【点评】本题练习商得导数与复合函数得导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos 4x得导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－
12
sin2 x 2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 444【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】
解法一就是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二就是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x得切线，求此二切线之间得距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－于就是切点为P（1，2），Q（－
1或x ＝1． 3114，－）， 327过点P得切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
114|???1|16327显然两切线间得距离等于点Q 到此切线得距离，故所求距离为＝2． 272四．课堂练习
1．求下列函数得导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）y?2、求ln(2x?3x?1)得导数 五．回顾总结
六．布置作业
2sin2x2;(3)loga(x?2) 2x?1§1、3、1函数得单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数得单调性与其导数得关系；
2．能利用导数研究函数得单调性，会求函数得单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数得单调性，会求不超过三次得多项式函数得单调区间 教学难点： 利用导数研究函数得单调性，会求不超过三次得多项式函数得单调区间 教学过程： 一．创设情景
函数就是客观描述世界变化规律得重要数学模型，研究函数时，了解函数得赠与减、增减得快与慢以及函数得最大值或最小值等性质就是非常重要得．通过研究函数得这些性质，我们可以对数量得变化规律有一个基本得了解．下面，我们运用导数研究函数得性质，从中体会导数在研究函数中得作用． 二．新课讲授
1．问题：图3、3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化得函数h(t)??4.9t?6.5t?10得图像，图3、3-1（2）表示高台跳水运动员得速度v随时间t变化得函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5得图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间得运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面得高度h随时间t得增加而增加，即h(t)就是增函数．相应
地，v(t)?h(t)?0．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面得高度h随时间t得增加而减少，即h(t)就是减函数．相应
地，v(t)?h(t)?0．
2．函数得单调性与导数得关系
观察下面函数得图像，探讨函数得单调性与其导数正负得关系．
'如图3、3-3，导数f(x0)表示函数f(x)在
2'''点(x0,y0)处得切线得斜率．
'在x?x0处，f(x0)?0，切线就是“左下右上”式得，
这时，函数f(x)在x0附近单调递增；
'在x?x1处，f(x0)?0，切线就是“左上右下”式得，
这时，函数f(x)在x1附近单调递减． 结论：函数得单调性与导数得关系
在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减．
''说明：（1）特别得，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内就是常函数． 3．求解函数y?f(x)单调区间得步骤： （1）确定函数y?f(x)得定义域； （2）求导数y?f(x)；
（3）解不等式f(x)?0，解集在定义域内得部分为增区间； （4）解不等式f(x)?0，解集在定义域内得部分为减区间． 三．典例分析
例1．已知导函数f(x)得下列信息： 当1?x?4时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0； 当x?4，或x?1时，f(x)?0 试画出函数y?f(x)图像得大致形状．
解：当1?x?4时，f(x)?0，可知y?f(x)在此区间内单调递增； 当x?4，或x?1时，f(x)?0；可知y?f(x)在此区间内单调递减； 当x?4，或x?1时，f(x)?0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y?f(x)图像得大致形状如图3、3-4所示． 例2．判断下列函数得单调性，并求出单调区间．
（1）f(x)?x?3x； （2）f(x)?x?2x?3 （3）f(x)?sinx?xx?(0,?)； （4）f(x)?2x?3x?24x?1 解：（1）因为f(x)?x?3x，所以， f(x)?3x?3?3(x?1)?0
因此，f(x)?x?3x在R上单调递增，如图3、3-5（1）所示．
'（2）因为f(x)?x?2x?3，所以， f(x)?2x?2?2?x?1?
23'2233232''''''''''''当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递增；
'2当f(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x?2x?3单调递减； 函数f(x)?x?2x?3得图像如图3、3-5（2）所示．
（3）因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，f(x)?cosx?1?0
因此，函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减，如图3、3-5（3）所示． （4）因为f(x)?2x?3x?24x?1，所以 ．
当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 当f(x)?0，即 时，函数f(x)?x?2x?3 ； 函数f(x)?2x?3x?24x?1得图像如图3、3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3 如图3、3-6，水以常速（即单位时间内注入水得体积相同）注入下面四种底面积相同得容器中，请
分别找出与各容器对应得水得高度h与时间t得函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器得情况． 解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以瞧出函数得增减，还可以瞧出其变化得快慢．结合图像，您能从导数得角度解释变化快慢得情况吗？
一般得，如果一个函数在某一范围内导数得绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得快， 这时，函数得图像就比较“陡峭”； 反之，函数得图像就“平缓”一些．
如图3、3-7所示，函数y?f(x)在?0,b?或?a,0?内得图像“陡峭”， 在?b,???或???,a?内得图像“平缓”． 例4
求证：函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内就是减函数．
3232'2'232'2'2证明：因为y'?6x2?6x?12?6x2?x?2?6?x?1??x?2?
'当x???2,1?即?2?x?1时，y?0，所以函数y?2x?3x?12x?1在区间??2,1?内就是减函数．
32??说明：证明可导函数f?x?在?a,b?内得单调性步骤： （1）求导函数f（2）判断f''?x?；
?x?在?a,b?内得符号；
'（3）做出结论：f?x??0为增函数，f'?x??0为减函数．
例5
'已知函数 f(x)?4x?ax?2223x(x?R)在区间??1,1?上就是增函数，求实数a得取值范围． 3'解：f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上就是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?恒成立，即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1
2所以实数a得取值范围为??1,1?．
说明：已知函数得单调性求参数得取值范围就是一种常见得题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)?0；若函数单调递减，则f(x)?0”来求解，注意此时公式中得等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习
1．求下列函数得单调区间
1、f(x)=2x3－6x2+7 2、f(x)=2．课本 练习 五．回顾总结
（1）函数得单调性与导数得关系 （2）求解函数y?f(x)单调区间
（3）证明可导函数f?x?在?a,b?内得单调性 六．布置作业
''1+2x 3、 f(x)=sinx , x?[0,2?] 4、 y=xlnx x
高中数学选修2-2教案(人教A版全套)
