复习课六（5.3）
例题选讲
例1 如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
例2如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC. （1）求证：BE=DG；
（2）若∠B=60°，当BC=AB时，四边形ABFG是菱形； （3）若∠B=60°，当BC= AB时，四边形AECG是正方形.
课后练习
1． 如图，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形. 则（ ）
A. BD=AC
B. BD⊥AC C. ∠HEF=90°D. AB=CD
2． 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直平分
3． 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当∠ABC=90°时，它是矩形 C．当AC=BD时，它是正方形 D．当AC⊥BD时，它是菱形
4． 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
5． 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
6． 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为（ ）
A. 2
B. 3C. 22
D. 23
7. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF．给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤
8．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长为 ．
9．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连结A′C，则∠BA′C＝ 度. 10．（广安中考）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1
上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 ．
11．如图，已知D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF. （1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）在什么条件下，四边形AFDE是正方形？请证明.
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的角平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形.
13． （杭州中考）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长.
参考答案 复习课六（5.3）
【例题选讲】
例1 解：（1）∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BOE＝∠AOF＝90°. OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF. （2）OE＝OF成立证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°. OB＝OA. 又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E. ∴Rt△BOE≌Rt△AOF. ∴OE＝OF. 例2 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD. ∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，∴CG⊥AD，AE=CG，∴∠AEB=∠CGD=90°. ∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，
3 【点拨】∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边21形ABFG是平行四边形. ∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB（直角三角形中30°
231角所对直角边等于斜边的一半），∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB，∴AB=BF，∴四边形ABFG是菱形，
22AE=CG，AB=CD，Rt△ABE≌△CDG（HL），∴BE=DG. （2）故答案是
3?13. （3） 【点拨】∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC=90°，∵AG∥CE，∴
2231AB，BE=AB，22四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE=
∴BC=
3?13?1AB，故答案是. 22【课后练习】
1—5. CDCCB 6—7. CB
8. 59. 67.5 10. （2n-1-1，2n-1）
11. （1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形.证明：∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴四边形AFDE是正方形.
12. 过点D作DG⊥AB，垂足为点G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形. ∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴DF=DG，DG=DE，∴DF=DE，∴四边形CEDF是正方形. 13. （1）AG2=GE2+GF2，证明略． （2）BG=
26+. 26
浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册复习课六5.3新版浙教版
