数学《推理与证明》复习知识要点
一、选择题
1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，n2这n2个数填入n?n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义f(n)为n阶幻方对角线上所有数的和，如f(3)?15，则f(10)?（ ）
A．55 【答案】C 【解析】 【分析】
B．500 C．505 D．5050
1?2?3?????n2因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得f(n)?，
n即得解. 【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n阶幻方对角线上数的和f(n)就等于每行（或每列）的数的和，
又n阶幻方有n行（或n列），
1?2?3?????n2因此，f(n)?，
n于是f(10)?故选：C 【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
1?2?3?????99?100?505．
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2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A．甲 【答案】D 【解析】 【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
B．乙
C．丙
D．丁
假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
3．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a a?bab?? (c≠0)”； ccc③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”； ④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A．1 【答案】B 【解析】 【分析】 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】 ①若“2a?2b，则a?b”类比推出“若a2?b2，则a?b”，不正确，比如a?1,b??2； ②“(a?b)c?ac?bc(c?0)”类比推出“ B．2 C．3 D．4 a?bab??(c?0)”，正确； ccc③在复数集C中，若两个复数满足a?b?0，则它们的实部和虚部均相等，则a,b相等，故正确； ④若a,b?C，当a?1?i,b?i时，a?b?1?0，但a,b是两个虚数，不能比较大小，故错误； 所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】 该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目. 4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成 体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为 ?1111?U?kcq?????，其中，kc为静电常量，x1、x2分别表示 RR?x?xR?xR?x?1212?2两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R?x1?x2?R?1???x1?x2??，R??x??x??1R?x1?R?1?1?，R?x2?R?1?2?，且?1?x??1?x?x2，则U的近似值为 R?R???（ ） kcq2x1x2A． 3R【答案】D 【解析】 【分析】 将R?x1?x2?R?1??1kcq2x1x2B．? 3R2kcq2x1x2C． 3R2kcq2x1x2D．? 3R??x1?x1?x2???x2?R?x?R1?R?x?R，，12???1??代入U，结合?RR?R?????1?x??1?x?x2化简计算可得出U的近似值. 【详解】 ????111?1112?121?U?kcq????????kcq???RR?1?x1?x2?R?1?x1?R?1?x2???RR?x1?x2R?x1R?x2????????R?R????R???? kcq2?R222?x1?x2?x1?x2?x1?x1?x2?x2??2kcq2x1x2??. ?1?1???1?????1???????3RRRRRR??????R????故选：D. 【点睛】 本题考查U的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 5．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a，b，c，d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表： 出水口 时间（秒） a，b a，c 160 c，d 140 b，d 150 170 则a，b，c，d四个出水口放水速度最快的是（ ）
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