解：
令：x(n)??(n)
h(n)?11h(n?1)??(n)??(n?1) 2211h(?1)??(0)??(?1)?12211n?1,h(1)?h(0)??(1)??(0)?122
11n?2,h(2)?h(1)?2211n?3,h(3)?h(2)?()222n?0,h(0)?归纳起来，结果为
1h(n)?()n?1u(n?1)??(n)
212. 有一连续信号xa(t)?cos(2?ft??),式中，f?20Hz,??（1）求出xa(t)的周期。
?2
%（2）用采样间隔T?0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号xa(t)的表达式。 %（3）画出对应xa(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。
————第二章————
教材第二章习题解答
1. 设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)； （2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：
jwjw 6
?（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0?jwn
''令n?n?n0,n?n?n0，则
FT[x(n?n0)]???jwn*n????x(n)e'??jw(n'?n0)?e?jwn0X(ejw)
（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)
n????jwn?（3）FT[x(?n)]??x(?n)e
令n??n，则
'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'jw?jwn'?X(e?jw)
jw（4） FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e) 证明： x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)
??jwn?FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m，则
n???m????[?x(m)y(n?m)]e??
FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn
?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w02. 已知X(e)??
??0,w0?w??jw求X(e)的傅里叶反变换x(n)。
jw1解： x(n)?2??w0?w0ejwndw?jwsinw0n ?njwj?(w)3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(e)?H(e)e为实序列，试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为
7
,如果单位脉冲响应h(n)
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：
假设输入信号x(n)?ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
y(n)?h(n)*x(n)?m????h(m)e?jw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)?Acos(w0n??)?y(n)?1A[ejw0nej??e?jw0ne?j?]21A[ej?ejw0nH(ejw0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)] 21 ?A[ej?ejw0nH(ejw0)ej?(w0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)ej?(?w0)]2上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
H(ejw)?H(e?jw),?(w)???(?w)1AH(ejw0)[ej?ejw0nej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] 2 ?AH(ejw0)cos(w0n????(w0))y(n)??1,n?0,1%(n)，4. 设x(n)??将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x画出x(n)和0,其它?%%x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数°X(k)和傅里叶变换。
解：
%画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。
%%%X(k)?DFS[x(n)]??x(n)en?03?j2?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2? ?e?jk4?(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e4??jk4?,
%X(k)以4为周期，或者
?jkn1?ee(e?e)%X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)1??j?k1?j?k21j?k21?j?k21?j?k41sin?k2, 1sin?k4%X(k)以4为周期
8
2?%X(e)?FT[x(n)]?4jw2?%X(k)?(w?k)?4k???? ???%X(k)?(w?k)?2k???2?
??cos(k)e?4k???jw???jk4??(w??2k)jw5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算： （1）X(e)；
?j0（2）
???X(ejw)dw；
2?（5）解：
???X(ejw)dw
（1）X(e)??j0n??3?x(n)?6
7（2）
???X(ejw)dw?x(0)?2??4?
27?（5）
???X(e)dw?2??x(n)?28?
jwn??326. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22n（3）x3(n)?au(n),0?a?1
解： （2）
X2(e)?jwn?????x2(n)e?jwn?1jw1e?1?e?jw221 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2（3） X3(e)?7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
9
jw
n?????au(n)en?jwn??ane?jwn?n?0?1
1?ae?jw
（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到
jwn????x(n)e??jwn
X(e)?因此X(e)?X(ejw*?jw*jwn????x(n)e?jwn?n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)
)
jw上式说明x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质。
X(e)?jwn????x(n)e???jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
n?????x(n)sinwn?0
因此X(e)?jwn???jw?x(n)coswn
该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即
jwjwX(ejw)?X*(e?jw)
X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?x(n)coswn?0
??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么
n????因此X(e)?jjwn????x(n)sinwn
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《数字信号处理》第三版课后答案
