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2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当x?0时，若x?tanx与xk是同阶无穷小，则k? A.1. C.3. 2.yA.?B.2. D.4.
?xsinx?2cosx（0?x?2?）的拐点
B.?0,2?
????,? 22??C.??,2?
3.下列反常积分收敛的是（） A.C.
D.??3?3??,?? 2??2??????0??xe?xdx
arctanxdx
1?x2B.D.
?0??xe?xdx
xdx1?x2
20?0??ay??by4.已知y??cex的通解为y?(C1?C2x)e-x?ex,则a,b,c
的值为（ ）
A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4
5.已知积
I2???sinD???分区域D?（|x?y??，I1???Dx2?y2dxdy?x,y）2??x2?y2dxdy，I3????1?cosx2?y2)dxdy，试比较I1,I2,I3的大小
DB.I1?I2?I3 D.I2?I3?I1
，
A.I3?I2?I1 C.I2?I1?I3
6.已知f(x)g(x)是二阶可导且在x?a处连续，请问f(x)g(x)相切于a且曲率相等是
limx?af(x)?g(x)?0的什么条件？
(x?a)2B.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
*
A.充分非必要条件 C.必要非充分条件
7.设A是四阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax?0的基础解系中只有2个向量，则A的秩是
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*
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A.0 C.2 B.1 D.3
8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2?A?2E，且A?4，则二次型xTAx的规范形为
A.y22?y21?y23 B.y2221?y2?y3 C.y2y22D.?y2221?2?y3
1?y2?y3
二、填空题 29.lim(xxx??x?2)?
10.曲线??x?t?sint在?y?1?costt?32?对应点处切线在y轴上的截距为
11.设函数f(u)可导，z?yf(y2?zx)，则2x?x?y?z?y?
12. 设函数y?lncos（x0?x??6）的弧长为 13. 已知函数f(x)?x?xsint2tdt，则?1t0f(x)dx?
??1?100?14.已知矩阵A???21?11???22???，Aij表示A中(i,j)元的代数余子式，?3?0034?1?A11?A12?
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）
已知函数f(x)???x2xx?0xex?1x?0，求f'(x)并求f(x)的极值
?16.（本题满分10分）
求不定积分?3x?6(x?1)2(x2?x?1)dx. 17.（本题满分10分）
y?y(x)x2是微分方程y'?xy?122xe满足条件y(1)?e的特解.
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则
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（1）求
y(x)
（2）设平面区域D?x,y）?（1?x?2,0?y?y(x)?，求D绕x轴旋转一周所
得旋转体的体积.
18.（本题满分10分） 已知平面区域D满足
??x,y?|?x2?y2??y4?，求??D3x?ydxdy.
22x?y19.（本题满分10分）
Sn. n?N?,Sn是f(x)?e?xsinx的图像与x轴所谓图形的面积，求Sn，并求limn??20.（本题满分11分）
?2u?2u?u?u已知函数u(x,y)满足2?22?3?3?0,求a,b的值，使得在变2?x?y?x?y换u(x,y)?v(x,y)eax?by下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.
21.（本题满分11分）
已知函数f(x,y)在?0,1?上具有二阶导数，且f(0)?0,f(1)?1,（1）存在??(0,1)，使得f(?)?0； （2）存在??(0,1)，使得f(?)??2.
22.（本题满分11分）
'''?10f(x)dx?1，证明：
?1??1??1??????2?，
已知向量组（Ⅰ）?1?1，?2?0，?3???????2????4???4???a?3???1??0??1??1?，???2?，???3?，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，
（Ⅱ）?1?23??????2????a?3???1?a???a?3??求a的取值，并将?用?1,?2,?3线性表示.
23.（本题满分11分）
??2?21??210?????A?2x?2与B0?10已知矩阵????相似
?0?00y?0?2?????（1）求x,y，
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（2）求可逆矩阵P,使得P?1AP?B
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学二）
1.C 9. 10. 11. 12. 13.
2.C
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
4e2
14. 15.解：
3??2 2z 1ln3 21(cos1?1) 4?4
2x当x?0时，f??x??x?????e??2xlnx???e2xlnx?2lnx?2?=x2x?2lnx?2?.
xxxx当x?0时，f??x??xe?1?e?xe??1?x?e.
?当x=0时，f?0??1，
x2x?1e2xlnx?12xlnxf???0??lim?lim?lim???， ??x?0?x?0x?0xxxxex?1?1f???0??lim?limex?1. ??x?0x?0x2x??x?2lnx?2? x?0故f??x?=?. x1?xex?0?????1令f??x?=0，得x1?e,x2??1.
（1）当x?0,e?1,f??x??0,f?x?单调递减， 当x?e?1，+?,f??x??0,f?x?单调递增，
????故fe1???=????e??12e为极小值.
（2）当x??-1，0?,f??x??0,f?x?单调递增，
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当x?0,e?1,f??x??0,f?x?单调递减， 故f?0?=1为极大值.
（3）当x????,?1?,f??x??0,f?x?单调递减， 当x??-1，0?,f??x??0,f?x?单调递增， 故f??1?=?e?1为极小值.
?1??16.
17.
18.
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