邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
自主广场
我夯基我达标 1.若x>0，则4x+
9的最小值是（ ） 2xA.9 B.3336 C.13D.不存在
思路解析：因为x>0,所以4x+
999133336=2x+2x+≥，当且仅当2x=,即x=36时2222xxx等号成立.
答案：B
22
2.若实数x,y满足xy>0，且xy=2,则xy+x的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：xy+x=答案：A
2
1112241122
2xy+xy+x≥33xy?xy?x?33(xy)?33=1.
224422abcbca++)(++)≥____________. bcaabcabcbca思路解析：(++)(++)
bcaabc3.已知a,b∈R+，则(
222bcacaba2b2c2bcacababc??=3+2?2?2?≥3+662?2?2?=9. ??bccaababcbccaababc答案：9
4.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.
222222
证明：左边=(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca) ≥33a3b3c3?33a3b3c3
=6abc.
∴a、b、c∈R+,∴原式成立.
3322
5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a+b>ab+ab. 证明：∵a、b∈R+,且a≠b, 则a+b=>
3
3
1333333
［(a+a+b)+(a+b+b)］ 31 (33a3b3c3?33a3b3c3） 32
2
=ab+ab. 3322∴a+b>ab+ab.
2
6.求函数y=4sinx-cosx的最值.
2222
解：∵y=16sinxsinx·cosx,
222
=8(sinx·sinx·2cosx)
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。sin2x?sin2x?2cos2x3864≤8()=8×. ?32727∴y≤
2
26422
,当且仅当sinx=2cosx,即tanx=±时取“=”号.
227∴y大=
883,y小=?3。 991. 47.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于证明：假设(1-a)b>
111,(1-b)c>,(1-c)a>. 444(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a6161］=()=,
6264则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.① 又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［
这与①矛盾.
∴假设不成立.即原结论正确. 8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：
ad?bcbc?ad≥4. ?bdac证明：
ad?bcbc?adacbdacbd??????44???=4. bdacbdacbdac当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.
我综合我发展
9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为___________. 思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h, 则4r+2h=l,v=πrh≤π(当且仅当r=h=
2
r?r?h3l3
)=π() 36l时取“=”号. 6答案：
?l3216
10.已知x∈R+，有不等式x+x+
14xx4≥2,x+2???2≥3,…,由此启发我们可以推广为：xx22xa≥n+1(n∈N +).则a=__________. nx思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：
nnxxnnx+n?????n≥n+1.
nnxx答案：n
11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=
n
a?b,则两边均含有运2
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式自主训练新人教A版选修4_
