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分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即即a?b，那么有
1形式的，这里我们把较小的数写在前面，a?b1111?(?) a?bb?aab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 11，形式的，我们有：
n?(n?1)?(n?2)n?(n?1)?(n?2)?(n?3)--完整版学习资料分享----
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1111?[?]
n?(n?1)?(n?2)2n?(n?1)(n?1)(n?2)1111?[?]
n?(n?1)?(n?2)?(n?3)3n?(n?1)?(n?2)(n?1)?(n?2)?(n?3)裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a2?b2a2b2aba?bab11（1）???? ???? （2）
a?ba?ba?bbaa?ba?ba?bba裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
11111【例 1】 ????? 。
1?22?33?44?55?6【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 ?11??11?【解析】 原式??????????12??23??11?115??????? ?56?166例题精讲
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：要变为：
1111?11?1????????． 1?33?55?77?9?19?25【答案】
6
1111，计算过程就???1?33?55?77?9--完整版学习资料分享----
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111【巩固】 ??......?10?1111?1259?60【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111【解析】 原式?(?)?(?)?......?(?)???
1011111259601060121【答案】
12
2222【巩固】 ?????
10?99?85?44?3【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 1111??1111?11?7【解析】 原式?2????????????2?????
4534??91089?310?157【答案】
15
1111【例 2】 ? ???11?21?2?31?2??100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数
112112???列求和运算公式的代入有?，，……，
1(1?1)?11?21?2(1?2)?22?3222222120099原式? ?????2?(1?)??11?22?33?4100?10110110110199【答案】1
1011111【例 3】 ????? 1?33?55?799?101【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
111111111150【解析】 ??????(1????…??）?1?33?55?799?10123359910110150【答案】
101
11?1???【巩固】 计算：25??1?33?55?7??1??? 23?25?【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯，初赛，六年级 1?111【解析】 原式?25???1????2?335?11?1?1?2524???25???1?????12 2325?2?25?225【答案】12
251251251251251【巩固】 ?????4?88?1212?162000?20042004?2008【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算
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小学奥数教程-分数裂项计算-教师版-全国通用(含答案)
