2019年浙江省温州中学自主招生数学试卷
副标题
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
5?31. 设??=√，则代数式??(??+1)(??+2)(??+3)的值为( )
2
A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2
b，c，d，(??,??)△2. 对于任意实数a，定义有序实数对(??,??)与(??,??)之间的运算“△”为：
(??,??)=(????+????,????+????).如果对于任意实数u，v，都有(??,??)△(??,??)=(??,??)，那么(??,??)为( )
A. (0,1) B. (1,0) C. (?1,0)
5
D. (0,?1)
3
3. 已知A，B是两个锐角，且满足sin2??+cos2??=4??，cos2??+sin2??=4??2，则实数
t所有可能值的和为( )
8
11
A. ?3 1
1
1
B. ?3 1
5
C. 1
D. 3
4. 设??=13+23+33+?…+20173，则4S的整数部分等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 方程??2+2????+3??2=34的整数解(??,??)的组数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，????=1，连接AE，与
CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为( )
6 A. √3
5 B. √3
6 C. 2√3
5 D. 2√3
7. 已知实数a，b满足??2+??2=1，则??4+????+??4的最小值为( )
A. ?8 1
B. 0 C. 1
D. 8 9
32
8. 若方程??2+2?????3???2=0的两个不相等的实数根??1，??2满足??1+??1=4?
32
(??2+??2)，则实数p的所有可能的值之和为( )
A. 0
B. ?4 1
3
C. ?1
D. ?4
1
5
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
9. 已知互不相等的实数a，b，c满足??+??=??+??=??+??=??，则??=______． 10. 使得5×2??+1是完全平方数的整数m的个数为______．
P为AB上一点，∠??=40°，∠??????=20°，11. 在△??????中，已知????=????，则????=______． 12. 已知实数a、b、c满足??????=?1，??+??+??=4，??2?3???1+??2?3???1+??2?3???1=9，则??2+??2+??2=______．
13. 两条直角边长分别是整数a，??(其中??<2011)，斜边长是??+1的直角三角形的个
数为______．
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??
??
??
4
????
1
14. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚
质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是______． 15. 如图，双曲线??=??(??>0)与矩形OABC的边CB，BA
分别交于点E，F，且????=????，连接EF，则△??????的面积为______．
16. 设四位数????????满足??3+??3+??3+??3+1=10??+??，则这样的四位数的个数为______．
三、解答题（本大题共3小题，共50.0分）
△??????中，∠??????=60°，????=2????.点P在△??????17. 如图，
内，且????=√3，????=5，????=2，求△??????的面积．
18. 已知抛物线??=?6??2+????+??的顶点为P，与x轴的正半轴交于??(??1,0)、
PA是△??????的外接圆的切线．??(??2,0)(??1
PA为⊙??的切线，PBC为⊙??的割线，????⊥????19. 如图，
于点D，证明：????2=?????????．
3
1
?
2
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20.若从11，22，33，……，nn中任取55个两两互素的不同的整数a1a1，a2a2，a3a3，a4a4，a5a5，其中总有一个整数是素数，求nn的最大值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵??=√∴2??=√5?3，
2??+3=√5 (2??+3)2=(√5)2， 4??2+12??+9=5， ∴??2+3??=?1，
∴原式=(??2+3??)(??2+3??+2)
=?1×(?1+2)
=?1； 故选C
这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，而是先把原式化成平方的形式，然后根据给出的数求出??2+3??+1=0，最后即可求出结果．
本题主要考查了二次根式的化简求值问题，在解题时要注意有简便方法的要用简便方法，不要直接把值代入． 2.【答案】B
【解析】解：∵(??,??)△(??,??)=(????+????,????+????)=(??,??)， ∴????+????=??，????+????=??， ∵对于任意实数u，v都成立， ∴??=1，??=0， ∴(??,??)为(1,0)． 故选：B．
首先根据题意可得：????+????=??，????+????=??，又由对于任意实数u，v都成立，根据多项式相等的知识即可求得答案．
此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程????+????=??，????+????=??是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据已知，得
22222
sin??+cos??+cos??+sin??=4??+4??，即2=4??+4??， 2
3
5
3
5
5?32
，
∴3??2+5???8=0， ∴解得??1=1，??2=?3，
又∵sin2??+cos2??=4??>0，即??>0， ∴??2=?3不符合题意舍去，
∴??所有可能值的和为1． 故选C．
根据公式sin2??+cos2??=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．
本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系．解答此题的关键是熟练掌握同
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8
58
角三角函数的关系：sin2??+cos2??=1． 4.【答案】A
【解析】解：∵??=13+23+33+?…+20173 <1+(3+
21
13
3)+(
1111
14
3+?+
17
3)+(3+?+
11153
8
)+?，
<1+(3+
21
1
113
3)+[4×(3)+8×(3)+?]，
11
48
=1+8+27+[16+64+256+?]， =1+8+27+∴4??=4++
21
1
1
11611?4
111
=1+8+27+12，
13
12
16
13
111
427
+<4+(++)=5，
∵??>1， ∴4??>4， ∴4<4??<5，
∴4??的整数部分为4． 故选：A．
??=13+23+33+?…+20173<1+(23+33)+(43+?+首先根据不等式的性质，可得：
1731
1
1
1
1
1
1
)+(83+?+153)+?，整理求解可知：4??<5，又由??>1，可求得4S的整数部分
11
的值．
此题考查了整数知识的综合应用．注意不等式性质的应用是解此题的关键． 5.【答案】B
【解析】解：方程变形得：(??+??)2+2??2=34， ∵34与2??2是偶数， ∴??+??必须是偶数， 设??+??=2??，
则原方程变为：(2??)2+2??2=34， ∴2??2+??2=17， ??=±2
它的整数解为{，
??=±3
则当??=3，??=2时，??=1； 当??=3，??=?2时，??=?7； 当??=?3，??=2时，??=7； 当??=?3，??=?2时，??=?1．
∴原方程的整数解为：(1,3)，(?7,3)，(7,?3)，(?1,?3)共4组． 故选：B．
首先将原方程变形为：(??+??)2+2??2=34，即可得??+??必须是偶数，然后设??+??=2??，可得新方程2??2+??2=17，解此方程即可求得答案．
(??+此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：
??)2+2??2=34，由??+??必须是偶数，然后设??+??=2??，从而得新方程2??2+??2=17． 6.【答案】D
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