应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝A．－4 C．5
4
＋x(x<3)的最大值是( ) x－3
B．1 D．－1
4
【解析】 因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－?3－x＋（3－x）?＋3≤－
??
2
44·（3－x）＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值3－x3－x
是－1.
【答案】 D
技巧二 平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x>0，y>0，且
2x2＋
y2
＝8，求x6＋2y2的最大值． 3
[思路点拨] 由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．
2?2x2＋1＋y?29????3?＝3×【解】 (x6＋2y2)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2?1＋3?≤3·??2?.当且仅当
?2?
y2
2
2x2＝1＋
y23429
，即x＝，y＝时，等号成立．故x6＋2y2的最大值为3. 3222
技巧三 展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
1??1? 已知a>0，b>0且a＋b＝2，求??a＋1??b＋1?的最小值．
[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
1??1?1111a＋b3
＋1＋1＝＋＋＋1＝＋【解】 由题得?＋1＝＋1， ?a??b?ababababab
1??1?1
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2ab，所以ab≤1，所以≥1.所以??a＋1??1＋b?≥4(当ab
1
1??1?
且仅当a＝b＝1时取等号)，所以??a＋1??b＋1?的最小值是4.
技巧四 变形后使用基本不等式
设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么( ) A．a＋b有最小值2(2＋1) B．a＋b有最大值(2＋1)2 C．ab有最大值2＋1 D．ab有最小值2(2＋1)
a＋b2
【解析】 因为ab－(a＋b)＝1，ab≤()，
2
a＋b?所以??2?－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式， 解得a＋b≥2(2＋1)或a＋b≤2(1－2)(舍去)， 所以a＋b有最小值2(2＋1)． 又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2ab，
所以ab－2ab≥1，它是关于ab的一元二次不等式， 解得ab≥2＋1或ab≤1－2(舍去)， 所以ab≥3＋22，即ab有最小值3＋22. 【答案】 A
f（x）技巧五 形如型函数变形后使用基本不等式
g（x）
f（x）若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
g（x）
（x＋5）（x＋2）
求函数y＝(x≠－1)的值域．
x＋1
B
[思路点拨] 将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用
x基本不等式求解．
（x＋5）（x＋2）x2＋7x＋10
【解】 因为y＝＝
x＋1x＋1（x＋1）2＋5（x＋1）＋44
＝＝x＋1＋＋5，
x＋1x＋1当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－24
（x＋1）·＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
x＋14（x＋1）·＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．
x＋1
2
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
2
技巧六 用“1”的代换法求最值
12
已知＋＝1，且x>0，y>0，求x＋y的最小值．
xy
?1＋2?＝3＋y＋2x≥3＋【解】 法一：因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·?xy?xy
2
y2x
·＝3＋22. xy
y2x12
当且仅当＝，且＋＝1，即x＝2＋1，y＝2＋2时，上式等号成立．故x＋y的最
xyxy小值是3＋22.
12y
法二：因为＋＝1，所以x＝.
xyy－2因为x>0，y>0，所以y－2>0.
y2－y（y－2）2＋3（y－2）＋2y
所以x＋y＝＋y＝＝＝
y－2y－2y－2
22
y－2＋＋3≥3＋22?当y－2＝y－2，即y＝2＋2 时取等号，此时x＝2＋1).
?y－2
ab
求以形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”
xy12
的代换求乘法．本题中的条件＋＝1也可化为2x＋y－xy＝0.
xy
a2b2
若a，b为常数，且0 x1－x [思路点拨] 根据待求式的特征及0 【解】 因为0 a2b2a2b2a2b2 所以＋＝·1＋·1＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)] x1－xxx1－x1－x＝a2＋ a2（1－x）b2x ＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. x1－x a2（1－x）b2x 上式当且仅当＝时，等号成立． x1－xa2b2 所以＋≥(a＋b)2. x1－x故函数f(x)的最小值为(a＋b)2. 若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b＋2)的最小值是__________． [思路点拨] 由于所给条件式中含两个变量a，b，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值． 3 4a－13 【解析】 因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝＝4＋. a－1a－1 66 又因为a>1，所以b>0.所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋＋9＝6(a－1)＋ a－1a－1＋15. 因为a－1>0， 6 所以6(a－1)＋＋15≥2 a－1 6 6（a－1）×＋15＝27. a－1 6 当且仅当6(a－1)＝(a>1)， a－1即a＝2时取等号． 【答案】 27 已知条件含形如ax＋bxy＋cy＋d＝0(abc≠0)型的关系式，求关于x、y一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax＋bxy＋cy＋d＝0变形，用一个变量x(或y)表示另一个变量y(或x)后求解． 技巧七 代换减元求最值 z 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的 xy 最大值为__________． 【解析】 x2－3xy＋4y2－z＝0?z＝x2－3xy＋4y2，① zx2－3xy＋4y2x4y所以＝＝＋－3≥2 xyxyyx等号成立条件为x＝2y， 代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2， 所以x＝2y，z＝2y2， 所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2 ＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2. 【答案】 2 在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解． 技巧八 建立求解目标不等式求最值 已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为__________． 【解析】 因为x，y均为正实数， 所以x＋y≥2xy，xy＝x＋y＋3可化为xy≥2xy＋3， x4y ·－3＝1. yx 4 即(xy－3)(xy＋1)≥0， 所以xy≥3，xy≥9， 当且仅当x＝y时，xy取得最小值9. 【答案】 9 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值． 5
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(一) 应用基本不等式的八种变形技巧
