第一章 解三角形 1.2 应用举例
第3课时三角形中的几何计算
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b4
＝4，cos C＝，则△ABC的面积是( )
5
A．8 B．6 C．4 D．2 4
解析：因为cos C＝，C∈(0，π)，
53
所以sin C＝，
5
113
所以S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.
225答案：B
2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2
＋c2，则角A为( )
A．45° B．60° C．120° D．150° 解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccos A， 1
所以4·bcsin A＝2bccos A，
2所以tan A＝1， 又因为A∈(0°，180°)，
1
所以A＝45°. 答案：A
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为( ) 13
A. B. C.3 D．23 2213解析：S△ABC＝AB·AC·sin A＝.
22答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，π
B＝，当△ABC的面积等于3时，tan C等于( )
3
A.3 B．－3 C．－23 D．－2
113
解析：S△ABC＝acsin B＝·1·c·＝3，所以c＝4，
222由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以b＝13，
a2＋b2－c21
所以cos C＝＝－，
2ab13所以sin C＝
12， 13
sin C
所以tan C＝＝－12＝－23.
cos C答案：C
7
5．在△ABC中，已知b－bc－2c＝0，且a＝6，cos A＝，
8
2
2
则△ABC的面积等于( )
2
15A. B.15 C．2 D．3
2解析：因为b2－bc－2c2＝0， 所以(b－2c)(b＋c)＝0， 所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4， 715
因为cos A＝，所以sin A＝，
88
111515
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
2282答案：A 二、填空题
6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．
解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；
②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数． 答案：②
7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．
解析：因为a－b＝4，所以a＞b， 又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b， 所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.
3
所以最大角为A，所以A＝120°， b2＋c2－a21所以cos A＝＝－，
2bc2所以b2＋c2－a2＝－bc，
所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)， 即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b， 所以b＝10，所以a＝14，c＝6. 故周长为30. 答案：30
8．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝2203，则a的值为________．
1
解析：因为bcsin A＝2203，
2所以c＝55，
又a2＝b2＋c2－2bccos A＝2 401. 所以a＝49. 答案：49 三、解答题
9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m，90 m，120 m，这个区域面积是多少？
解：设a＝70 m，b＝90 m，c＝120 m.
4
根据余弦定理的推论，
a2＋c2－b2702＋1202－9022
cos B＝＝＝，
2ac32×70×120sin B＝
2251－（）＝.
33
1
应用S＝casin B，得
2
15
S＝×120×70×＝1 4005 (m2)，
23即这个区域的面积为1 4005 m2.
10．在△ABC中，c＝22，a>b，tan A＋tan B＝5，tan A·tan B＝6，试求a，b及△ABC的面积．
解：因为tan A＋tan B＝5，tan A·tan B＝6，且a>b， 所以A>B，tan A>tan B，
所以tan A＝3，tan B＝2，A，B都是锐角． 31010所以sin A＝，cos A＝，
1010525
cos B＝，sin B＝，
55所以sin C＝sin(A＋B)＝ 2
sin Acos B＋cos Asin B＝.
2abc
由正弦定理＝＝得，
sin Asin Bsin C61085a＝，b＝，
55
5
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.2第3课时三角形中的几何计算(含答案)
