几何法、反证法练习
1实数a，b，c不全为零的条件为( )． A．a，b，c全不为零
B．a，b，c中至多只有一个为零 C．a，b，c只有一个为零
D．a，b，c中至少有一个不为零
2已知a，b，c都是小于1的正数，则(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于( )．
A．
1111 B． C． D． 4238a?ba?ba?ba?b＝1 B．<1 C．?1 D．?1 1?ab1?ab1?ab1?ab3若|a|＜1，|b|＜1，则( )． A．
4设a，b，c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的__________条件．
5设x，y为正数，且x＋y＝1，则???1??1?1?1??2?与9的大小关系是__________． 2x???y?6用反证法证明：如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，
b，c，d中至少有一个负数．
7已知f?x?＝1?x，a≠b，且ab＞0．求证：|f(a)－f(b)|＜|a－b|．
28已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R． (1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
参考答案
1 答案：D a，b，c不全为零，即为a，b，c不能同时为零，也就是a，b，c中至少有一个不为零．
2 答案：A 假设(1?a)b?111，(1?b)c?，(1?c)a?． 444因为a，b，c都是小于1的正数， 所以?1?a?b?111，?1?b?c?，?1?c?a?，从而有 2223?1?a?b??1?b?c??1?c?a?．
21?a?b1?b?c1?c?a ??222但是?1?a?b??1?b?c??1?c?a?3??a?b?c???a?b?c?3?，
223这与上式中大于相矛盾，所以假设不成立，即(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有
21一个不大于．
4a?b?1，则|a＋b|≥|1＋ab|， 3 答案：B 假设
1?ab?∴a＋b＋2ab≥1＋2ab＋ab， 2222
∴a＋b－ab－1≥0， 222
∴a－1－b(a－1)≥0，
22
∴(a－1)(1－b)≥0，
22??a?1?0,??a?1?0,∴?或? 22??1?b?0,??1?b?0,22??a?1,??a?1,即?2或?2与已知矛盾． ??b?1,??b?1,a?b<1． ∴
1?ab2
2
22
4 答案：充要 利用反证法．充分性：由PQR＞0，知P，Q，R同时大于零或P，Q，R有一正两负．不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，即a＋b－c＞0，b＋c－a＜0，c＋a－b＜0．上式相加，得c＜0，与已知矛盾，即P，Q，R同时大于零，必要性显然成立．
5 答案：????1??1?1??1 假设?1?1?9?1?1??2??2??2?<9，则 2xy????x??y???11?11??2?2??22<9，
y?xy?x2
2
22
故1－(x＋y)＜8xy．
2
∵x＋y＝1，∴1＝(x＋y)．
22222
代入上式，得(x＋y)－(x＋y)＜8xy，
22
∴2xy＜8xy，即xy(1－4xy)＜0．①
又由x＋y＝1，得xy?x?y11?，∴xy?， 224∴1－4xy≥0，从而xy(1－4xy)≥0成立．②
由①②矛盾知，假设不成立． ∴???1??1?1?1??2??9． 2?x??y?6 答案：证明：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立， 即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0． 因为a＋b＝1，c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1．
因为a，b，c，d均为非负数，于是有bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数．
7 答案：分析：利用f(x)=1?x2的结构特点构造几何中的两点间的距离来证明． 证明：f(a)=1?a2可视为平面上点A(1，a)到点O(0,0)的距离，f(b)=1?b2表示点B(1，b)到点O(0,0)的距离．而|a－b|表示A(1，a)及B(1，b)两点的距离，如图．
∵a≠b，∴A，O，B三点组成一个三角形，由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f(a)－f(b)|＜|a－b|．
8 答案：证明：(1)a＋b≥0?a≥－b． 由已知f(x)的单调性，得f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．
两式相加，即得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)逆命题：
如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)， 那么a＋b≥0．成立． 下面用反证法证明． 假设a＋b＜0，那么
a?b<0?a
a?b<0?b
数学北师大选修课后训练：第一章§不等式的证明第课时 含解析
