体密度；
(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2)
E1h?SSEE2 (1) (2)解：(1) 设电荷的平均体密度为?，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面?S平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：
??EdS2＝E2?S-E1?S＝(E2-E1) ?S 2分 ??高斯面S包围的电荷∑qi＝h?S? 1分 由高斯定理(E2－E1) ?S＝h?S??/? 0 1分 ∴ ??1?0?E2?E1 ?＝4.43310-13 C/m3 2分 h (2) 设地面面电荷密度为?．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 。由高斯定理
?1?EdS2=??-E?S=
?0?qi
1?0??S
∴ ? =－? 0 E＝－8.9310-10 C/m3
8.18 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)． S1 O x E1 2?x? S2 E1 E2
x x 解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反．
在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大了）, 两底面距离中心平面均为?x?, 由高斯定理得
E1?2S?
d E2 ??2xS/?0
6
则得 E1??x/?0
?d 2?0-d/2 O Ex 1??1即 E1??x/?0 ??d?x?d? 4分
2??2在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为x，由高斯定理得 E2?2S?则得 E2???Sd/?0
d/2 -x 12??1?1???即 E2???d/?2?0? ?x?d?， E2????d/?2?0? ?x??d? 4分
2?2???????d/?2?0? ?x?d?
E~ x 图线如图所示． 2分
?d 2?0
8.19如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为?＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求：
(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度；
(3) 场强为零的点在何处？
P1 O x b P P2 x E S dx b E S S E
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．
作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
S P x E? ?? 按高斯定理?E?dS??q/?0，即
S2SE?1?0kS??b0?Sdx?kS?0?b0kSb2 xdx?2?0得到 E = kb2 / (4?0) (板外两侧)
(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E?，如图所示．按高斯定理有 ?E??E?S?x?00kSb2 xdx?2?0k得到 E??2?02?2b2???x?2?? (0≤x≤b) ??b2?0， 可得x?b/2 (3) E?=0，必须是x?2
8.20 一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O?,两球心间距离OO??d,如图所示. 求:
7
(1) 在球形空腔内,球心O?处的电场强度E0.
??(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d.
?解：挖去电荷体密度为??的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E1，为此二者的叠加，即可得
?而另在挖去处放上电荷体密度为－?的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强
E0?E1?E2 2分
在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小.
???14?32有 E＝E=E?d E?dS?E?4?d??d?1O’1P11?S13?0?03方向分别如图所示. 3分
在图(b)中，以O?点为小球体的球心，可知在O?点E2=0. 又以O? 为心，2d为半径作球面为高斯面S? 可求得P点场强E2P
????S???E2?dS??E2?4?(2d)2?4?r3(??)/?3?0?
E2P(1) 求O?点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得
EO’ = E1O’ =
??r3? 3分 ?12?0d2(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得 EP?E1P?E2P
??d， 方向如图(c)所示. 2分 3?0?r3???d?4d2?? 方向如(d)图所示. 2分 ?? O? r ??3?0 ? P E1P O O? O P E1O’ E2P -? E2O’=0
图(b)
图(a) ? O d O? E1P ? P EP E2P EO’=E1 O’ 图(c)
图(d) 8
8.21 如图所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：
(1) 在它们的连线上电场强度E?0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
?+qO+qd-3q-3q xx d x'
解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．
? (1) 设E?0的点的坐标为x?，则
???q3q E?i?i?0 3分 22?4??0x4??0?x??d?22可得 2x??2dx??d?0
1解出 x???1?3d 2分
21???3?1d不符合题意，舍去． 另有一解x22???? (2) 设坐标x处U＝0，则
U?q3qq??4??0x4??0?d?x?4??0?d?4x??x?d?x???0 ??得 d- 4x = 0, x = d/4
8.22 图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为?＝?0 (x-a)，?0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．
a lx x dxaO lxO
解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=?0 (x－a)dx 。它在O点产生的电势
dU??0?x?a?dx
4??0xO点总电势
U?dU??a?ldx??0?0?a?ldx?a???ax?4??0??a?4??0a?l?? 2分 l?aln??a??
8.23 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．
xdxO2laPx
解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度?＝q / (2l)，
9
在x处取电荷元dq = ?dx＝qdx / (2l)，它在P点产生的电势为
dUP?dqqdx 4分 ?4??0?l?a?x?8??0l?l?a?x?q8??0l整个杆上电荷在P点产生的电势 UP?q?qdxl?2l????lnl?a?x?ln?1?? 4分 ??l?l?a?x?8??0l?l8??0l?a?l
8.24 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．
Pa xdxO2lx
解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示. 杆的电荷线密度?=q / (2l)．在x处取电荷元dq．
dq = ldx = qdx / (2l) 它在P点产生的电势
dUP?整个杆上电荷产生的电势
dq4??0a?xdx22?qdx8??0la?x22 4分
q UP?8??0l?l?lq?lnx?a2?x2a2?x28??0l2??l
?l?l?a2?l2q?ln?8??0l?a??l?a2?l2?qln???4??0l?a????? 4分 ??
8.18两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．
解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为
E?Q (R1＜r＜R2）
4??0r2 两球的电势差 U12??R2R1Edr?Q4??0?R2R1Qdr?r24??0?11???? ?R??1R2?∴ Q?4??0R1R2U12-＝2.143109 C R2?R1
8.25电荷以相同的面密度??分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． (1) 求电荷面密度?．
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
-［?0＝8.8531012 C2 /(N2m2)］
解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
1 U0?4??0?q1q2?1?????r??1r2?4??0?4?r12?4?r22???r?r2?1??? ? 10
第8-11章习题解答
