第八章 静电场
?8.1 真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为F，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力 (A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．
(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ C ］
8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
? (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．
? (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．
? (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零．
［ D ］
8.3有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为
qq． (B) 3?04??0qq (C) ． (D) ［ D ］
3??06?0 (A)
a a O a/2 q
8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
q2q2 (A)． (B) ．
2?0S?0Sq2q2(C) ． (D) ． ［ B ］ 222?0S?0S
8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］
8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷＋q，M点有负电荷-q．今将一试验电荷＋q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 ,且为有限常量．
(C) A＝∞． (D) A＝0． ［ D ］
1
C-qMO+qNDP
8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［ C ］
8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？
(A) 电场强度EM＜EN． (B) 电势UM＜UN．
(C) 电势能WM＜WN． (D) 电场力的功A＞0．
［ C ］
-qMA
8.9 电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．
N
q?2q??0 2分 224??0?x?1?4??0?x?1?得 x2－6x+1=0, x?3?22 m
因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
x?3?22 m 3分
8.10 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．
qL d P????x O
L dq (L+d－x) Ｐ d dE
x
解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强：
dE?dq4??0?L?d?x?2?qdx4??0L?L?d?x?2 2分
2
qdxq总场强为 E? 3分 ?24??0L?(L?d－x)??4??dL?d00方向沿x轴，即杆的延长线方向．
8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
+Q Ly dq y R O －Q x d????x R O ??
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?。它在O处产生场强
dE?dqQ?d?
4??0R22?2?0R2Q22按?角变化，将dE分解成二个分量：
2??0RQdEy??dEcos???2cos?d? 22??0R对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2?Ex?2sin?d??sin?d???＝0 ?2??0R2??0?/2?dEx?dEsin??sin?d?
Q?/2???Q?QEy?2cos?d??cos?d??? ??22?2??0R2????R00?/2?????Q?所以 ： E?Exi?Eyj?2j 2??0R
8.12 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为?=?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
y dq y R d????x ??O
R O ??x
3
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷dq = ?dl = 2Qd? / ?，它在O处产生场强
dE?dqQ?d? 2分
4π?0R22π2?0R2Q按?角变化，将dE分解成二个分量：
sin?d?
2?2?0R2QdEy??dEcos???2cos?d? 3分 22??0R对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2? Ex??sin?d???sin?d??＝0 2分
2?2?0R2??0?/2?dEx?dEsin??Q?/2???Q?Qcos?d??cos?d??? Ey? 2分 ??22?2?2?0R2????R00?/2?????Q?所以 E?Exi?Eyj?2j 1分 2??0R
8.13 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为－?和＋?．试求：
(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点)． (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．
12??E1a/2x?? aO????-a/2xE2OE
解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为： E=? / (2??0r) 2分
根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为
????11??? ? E?E1?E2?aa2??0??????x???x??????2????2?2a? ?， 方向沿x轴的负方向 3分
??0?a2?4x2? (2) 两直线间单位长度的相互吸引力
F=?E=?2 / (2??0a) 2分
8.14如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
4
? O ?R E a O r
dr
解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E=? / (2?0) 2分
以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为
dq = ?2?rdr 2分
它在距离平面为a的一点处产生的场强
dE? ?ardr2?0a?r?223/2? 2分
则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 E??a2?0??a0Rrdr2?r2?3/2 ??2?0?a?1??a2?R2??? 2分 ??由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝3a 2分
8.15真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：
Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C2m)．试求通过该高斯面的电通量．
y y a O z a a a E1 x 1 a 2 2a E2 x O
解： 通过x＝a处平面1的电场强度通量：?1 = -E1 S1= -b a3 通过x = 2a处平面2的电场强度通量： ?2 = E2 S2 = ?b a3
其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为??=??1+??2 = ?b a3-b a3 = b a3 =1 N2m2/C
8.16图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Ex＝bx，Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C2m)．试求该
y 闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数?0＝8.85310-12 C22N-12m-2 )
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 a 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不O x 为零．由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / ?0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q =??0S(E2- E1) =??0Sb(x2- x1) a z a a -1223
= ?0ba(2a－a) =?0ba = 8.85310 C
?8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100
?N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．
? (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均
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第8-11章习题解答
