2013【知识梳理】
年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式
例2 计算?A1. 分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式叫做分式．
B2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】
1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2.检验
知识网络结构图 分式的概念 分式的概念 分式的意义、无意义的条件 分式的值为0的条件 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则 分式的除法规则
分式 同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则 异分母分式的加减法法则 运算性质
负正数指数幂 科学记数法
公式方程的概念 解分式方程的步骤 分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解 列分式方程应用题的步骤
专题总结及应用
一、识性专题
专题1 分式基本性质的应用
【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.
例1 化简
(1)
?312??21??2????? a?2a?4a?2a?2????x21例3 已知x??3,求4的值. 2x?x?1x例4 已知2x?xy?3y?0，且x??y，求
22xx2y?x?y的值.
例5 已知
345xyz??,求的值. x?yy?zz?x(x?y)(y?z)(x?z)xzabc?a,?c,且abc?o,求的值. ??y?zx?ya?1b?1c?1例6 已知
x2y2z2xyz?????1,且x?y?z?0,求例7 已知的值. y?zx?zx?yy?zz?xx?y例8 已知
x?yxyz的值. ??,求
x?2y?3z345a?bb?ca?ck的值. ???k,求2cabk?1111ba
例10 已知??,求?的值.
ababa?b1例11 已知x??4,求下列各式的值.
x例9 已知
x21(1)x?2; (2)4. 2x?x?1x2例12 如果方程
11?x?3?有增根, 那么增根是 . x?22?xx2?4x?a?0有增根, 则a 的值为 ( ) 例13 若关于x的方程
x?3A.13 B. –11 C. 9 D.3
6xyxy?y; (2) ；
x2?110x2—◇◇
1 ◇◇—
2013例14 a何值时,关于x的方程
年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式
112x4x3??2?4例17 化简 x?1x?1x?1x?1例18 计算a?2?22ax3会产生增根? ?2?x?2x?4x?2专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.
信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
4. a?2x3?1. 例19 计算x?x?x?1例20 计算
4. 5信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.
例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？
（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 二、规律方法专题
专题5 分式运算的常用讨巧 （1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式
1111???ggg?.
a(a?1)(a?1)(a?2)(a?2)(a?3)(a?2005)(a?2006)1111???. 2222x?xx?2x?xx?3x?2x?4x?3111例22 已知x?3,求?2?.
x?2x?4x?2例12 计算
x2?3x?6x2?5x?2?2. 例23 计算2x?3x?2x?5x?6x2x例24 已知2的值. ?7,求4x?x2?1x?x?1例25 已知x?5x?1?0和x?0,求x?例26 已知
241的值. x4111??进行裂项.
n(n?1)nn?1abcb?cc?aa?b的值. ??,求
a?bb?c(c?a)abc????(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结
果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法.
例27 已知
111111111abc的值. ??,??,??,求
ab6bc9ac15ab?bc?ac5x2?2y3?z2例28 若4x?3y?6z?0,x?2y?7z,求2的值.
2x?3y3?10z2三、思想方法专题 专题6 整体思想
【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.
例29 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.
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2 ◇◇—
2013年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式
3．（2011?南充，8，3分）若分式
a?1?1?1?? ??2a?1a?1a?2a?1??2011中考真题精选 一、选择题
x?1的值为零，则x的值是（ ） x?2 A、0 B、1 C、﹣1 D、﹣2
4. 2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ） Ａ．
2a2aa2?b23a2ba2?3aa2?b21. （2011广东珠海，5，3分）若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 5. （2011浙江丽水，7，3分）计算错误!未找到引用源。的结果为（ ） a＋b（ ） a?1a A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。
1a?1a?1 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C． 是原来的倍 D．不变 10 C、﹣1 D、2
2. 计算-2+（-2）-（- 12）的正确结果是（ ）
A、2 B、-2 C、6 D、10 3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ） Ａ．
2a3ab22
2
-1
B．
a C．
a?b D．
a2?ab
6. （2011浙江金华，7，3分）计算 A.
B.
的结果为（ ）
B．
aa?3a2 C．
a?ba?b22 D．
a2?aba2?b2 C. －1 D.1－a
二、填空题
a2b2?4. （2011广东湛江,11,3分）化简的结果是（ ） a?ba?bA、a+b B、a-b C、a-b D、1 5.（2011丽江市中考，4,3分）计算()?(1?2)错误!未找到引用源。= ． 二、填空题
1. （2011?江苏徐州，11，3）3?2= ．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：a零指数幂：a=1（a≠0）．
0-1
2. 计算：|-3|+2011-8×2+6×2错误!未找到引用源。．
0
22x2?11. （2011天津，12，3分）若分式的值为0，则x的值等于 ．
x?12. （2011?郴州）当x= 时，分式错误!未找到引用源。的值为0．
12?100?13x2?273. 如果分式的值为0，则x的值应为 x?3?p?1（a≠0，p为正整数）；pa4. （2011北京，9，4分）若分式
x?8的值为0，则x的值等于 ． x一、选择题
1. （2011重庆江津区，2，4分）下列式子是分式的是（ ）
一、选择题
1. （2011重庆綦江，8，4分）在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）
A．
xxx A、错误!未找到引用源。 B、错误!未找到引用源。 C、?y错误!未找
2x?12x到引用源。 D、错误!未找到引用源。
?nn2. （2011四川眉山，7，3分）化简错误!未找到引用源。(?)?2的结果是（ ）
mm?m
A．﹣m﹣1
B．﹣m+1 C．﹣mn+m
D．﹣mn﹣n
—◇◇
1000010000－＝10错误!未找到引用源。 xx?501000010000－＝10错误!未找到引用源。 xx?50 B．
1000010000－＝10错误!未x?50x1000010000－＝10错误!未x?50x找到引用源。
C．
D．
找到引用源。
2. （2011吉林长春，6，3分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度
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2013年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式 为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） x千米，根据题意列出的方程是 ．
2800280028002800三、解答题
A．-=30错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用源。-=30
1. （2011江苏淮安，22，8分）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛.在x4x4xx2800280028002800相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了140个.如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出
C．错误!未找到引用源。-=30 D．错误!未找到引用源。-=30
小峰每分钟跳绳多少个？ x5x5xx3.（2011辽宁沈阳，8，3）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千2. （2011江苏连云港，21，6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h) （ ） 3. （2011?南通）在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子
2530102530跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？
??10错误!未指定书签。 A、? B、?x(1?80%)x60x(1?80%)x4. （2011?江苏徐州，22，6）徐州至上海的铁路里程为650km．从徐州乘“C”字头列车A，“D”3025103025字头列车B都可到达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少2.5h．
????10错误!未指定书签。 C、错误!未指定书签。 D、
(1?80%)xx60(1?80%)xx（1）设A车的平均速度是xkm/h，根据题意，可列分式方程： 错
4.（2011辽宁沈阳，8，3分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25误!未找到引用源。；
千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，（2）求A车的平均速度及行驶时间． 因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ） 5. （2011?广东汕头）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促
销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有
2530102530????10 A． B．多少瓶？ 00x(1?800）x60x(1?800）x6.（2011?河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了
3025103025????10C． D．20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．
(1?8000）xx60(1?8000）xx （1）第一批衬衣进货时的价格是多少？
5. （2011湖南衡阳，10，3分）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成任务，若设原计划每天修水渠x米，则下面第二批衬衣每件售价至少是多少元？ 所列方程正确的是（ ） （提示：利润=售价﹣成本，利润率=错误!未找到引用源。）
7. （2011?柳州）某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学3600360036003600A． = B． -20=
书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等． x1.8x1.8xx（1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？ 3600360036003600C． － =20 D． + =20
（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和x1.8xx1.8x二、填空题 科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？ 1. （2011?安顺）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的8. （2011?德州，21，10分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为 须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成2. （2011山东青岛，11，3分）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每费用2500元，乙队每天的工程费用2000元． 小时加工x个零件，则根据题意可列方程为． （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？ 3. （2011辽宁阜新,8,3分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行9. （2011?莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种
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2013年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式 方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨． A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠2
x?2（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，
4．使分式2等于0的x的值是（ ）
实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每x?4天售出多少吨？ A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 （2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际
x?y5．如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） 获得的总利润．
x?y10. （2011泰安，25，8分）某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900
11个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已
A．扩大到原来的3倍 B.不变 C.缩小到原来的 D.缩小到原来的
知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲．乙两车间每天加工零件各多少个？ 36a?1111. （2011四川遂宁，20，9分）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一
6．计算÷(a?)的结果是（ ）
段120米长的高速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务．问原计aa11划每天抢修多少米？
A． B．1 C． D．-1
12. （2011河北，22，8分）甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分a?1a?1钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
a2?b2（1）问乙单独整理多少分钟完工？ 7．化简2的结果为（ ）
a?ab（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
ba?ba?b13. （2011广东肇庆，21， 分）肇庆市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对
A．? B． C． D．-b
周边环境的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿aaa21道的长度．
8.分式方程?的解是（ ）
x?1x11
A．x=1 B．x=-1 C．x= D．x=-
综合验收评估测试题 33 (时间：120分钟 满分：120分) 二、填空题
一、选择题
ab2
9．若a-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子?÷（a+b）的值为_______________.
xba1.下列各式与相等的是( )
y10.化简
y?2xya?bx2A．2 B. C. 2 D.
x?2x2ayx2?12.若分式的值是（ ）
x?1A．0 B.1 C.-1 D.±1 3.分式
122的结果是__________. ?2m?9m?311.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.
12.当x=__________时，分式
x?3的值为0. x?313.化简?x?y???(x?1)(x?2)有意义的条件是（ ）
(x?2)(x?1)—◇◇
4xy??4xy?·x?y????=___________. x?y??x?y?14.方程
21??0的解是__________. x?1x5 ◇◇—
2013年中考数学第一轮复习精品讲义 第四章 分式
15.当x=___________时，
1x?1有意义. 16. 当x=___________时，2?x14?3x的值为4.
17.已知方程23x?3?2?3?x有增根，则增根一定是__________. 18.已知1x?x?3，则x2?1x2?__________.
化简x2?xyxy?y219.x÷2xy的结果是__________.
三、解答题
20.化简x?yx2x?3y÷?y22yx2?6xy?9y2?x?y. 21.先化简，再求值.
(1) x2?1x2?2x2x2?2x?1?x?2÷x，其中x=3；
（2）
x?3x?2÷（x?2?5x?2），其中x=-4； （3）x2?xx2?12 x?1·x2?2x?1，其中x满足x?3x?2?0；
（4）（1-1x?2）÷x2?1x?2，其中x?2；
（5）
12x?1x?yx?y(x2?y2?2x)，其中x?2，y?3. 22.解下列方程.
(1)
2(x?1)2x2?x?1x?3?0； （2）
2x?1?xx2?1?0； （3）1x?3?2?x3?x； (4)
22x?1?51?2x?1； 23.若AB5x?4x?5?x?2?x2?3x?10，求A，B的值. 24.七年级（1）班学生到游览区游览，游览区距学校25km，男生骑自行车，出发1小时20分后，女生乘客车出发，结果他们同时到达游览区.已知客车的速度是自行车速度的3倍，求自行车与客车各自的速度.
25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的
54倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.
（1）若设乙队单独完成这项工程需x天，请根据题意填写下表：
工程队名称 独立完成这项工程的时各队的工作效率 间（天） 甲工程队 乙工程队 （2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务
各需多少天；
（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？
26.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
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中考数学总复习 - 分式讲课教案
