高等数学上册第六版课后习题详细答案（图文）
习题1?1
1? 设A?(?? ?5)?(5? ?)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A达式?
解 A?B?(??? 3)?(5? ?)? AB?[?10? ?5)?
A\\B?(??? ?10)?(5? ?)?
A\\(A\\B)?[?10? ?5)?
2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A 证明 因为 x
(A
B)C
x?A
B
x?A或x?B
?BC?
所以 (AB)C?AC ?BC ?
3? 设映射f ? X ?Y? AX? B
B? A\\B及A\\(A\\B)的表
B)C?AC ?BC ? x
AC或x
BC
x
AC
X ? 证明
(1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(AB)f(A)f(B)? 证明 因为
yf(A?B)x?A?B? 使f(x)?y
(因为x?A或x?B) yf(A)或y yf(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为 yf(AB)x?AB? 使f(x)?y y f(A)f(B)?
所以 f(AB)f(A)f(B)?
f(B)
(因为x?A且x?B) yf(A)且yf(B)
4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个xX? 有IX x?x? 对于每一个yY? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
证明 因为对于任意的yY? 有x?g(y)X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)g[ f(x1)]?g[f(x2)] x1?x2?
因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? Y?X? 因为对每个yY? 有g(y)?xX? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射? 5? 设映射f ? X?Y? AX ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ?
证明 (1)因为xA f(x)?yf(A) f ?1(y)?xf ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?
(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?
另一方面? 对于任意的xf ?1(f(A))存在yf(A)? 使f ?1(y)?xf(x)?y ? 因为yf(A)且f是单射? 所以xA? 这就证明了f ?1(f(A))A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?
解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)?
33 (2)y?12?
1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(?? ?1)?(?1? 1)?(1? ?)? (3)y?1?1?x2?
x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x2 解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?
解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?
解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ?
22? ?)?
(7) y?arcsin(x?3)?
解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1?
x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?
解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)
1y?ex?
解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2?
(3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?
??|sinx| |x|??3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数 8? 设?(x)??644 |x|???0 3?y??(x)的图形?
解 ?(?)?|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(??)?|sin(??)|?2? ?(?2)?0? 442442662 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)?
1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)? 证明 (1)对于任意的x1? x2 y1?y2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?
x1xx1?x2?2??0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的?
1?x (2)对于任意的x1? x2
(0? ??)? 当x1?x2时? 有
x1?0? x2 y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明 对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)且?x1??x2? 因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设F(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则 F(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?F(x)?
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