第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
本节主要包括2个知识点：
突破点(一) 导数的运算
[基本知识]
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δlim x→0
Δyf＝Δlim Δxx→0 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.
x0＋Δx－fx0为函数yΔx＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝Δlim x→0
Δyf＝Δlim Δxx→0x0＋Δx－fx0
.
Δx2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝Δlim x→0fx＋Δx－fx为f(x)的导函数．
Δx3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝ 0 f(x)＝xα (α∈Q) *f′(x)＝ αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝ cos_x f(x)＝cos x f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝ －sin_x f(x)＝e xf′(x)＝ e xf′(x)＝ axln_a f′(x)＝ 1 xln af′(x)＝ f(x)＝ln x 4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
1f(x)＝logax (a>0，a≠1) x (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?fx?′＝f??gx?
xgx－fxg2[gxx(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[基本能力]
1．判断题
(1)f′(x0)与(f(x0))′的计算结果相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( ) π?π?(4)?sin ?′＝cos .( ) 3?3?
1?1?(5)若(ln x)′＝，则??′＝ln x．( )
x?x?
(6)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ) (7)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．填空题
(1)已知f(x)＝13－8x＋2x，f′(x0)＝4，则x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3. 答案：3
ln x(2)函数y＝x的导函数为________________．
e1－xln x答案：y′＝
xex2
?π?(3)已知f(x)＝2sin x＋x，则f′??＝________. ?4?
π?π?解析：∵f(x)＝2sin x＋x，∴f′(x)＝2cos x＋1，则f′??＝2cos ＋1＝2＋1. 4?4?答案：2＋1
[全析考法]
导数的运算 [典例] (1)函数f(x)＝(x＋1)(x－3)，则其导函数f′(x)＝( ) A．3x－2x C．3x－x
22
2
B．3x－2x－5 D．3x－x－5
2
2
2024版高考数学一轮复习第三章导数及其应用学案理
