课时提升作业 三十一 等差数列及其前n项和
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·青岛模拟)在等差数列{an}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是 ( ) A.24
B.48
C.96
D.无法确定
【解析】选B.由等差数列的性质知,a2+a12=2a1+12d=2(a1+6d)=32, 所以a1+6d=16.2a3+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=48.
2.若等差数列{an}的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于 ( ) A.0
B.12
C.-1
D.-12
【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得 4a1+
d=18a1+
d,a1=-d=22×
d,
+22×
d=0.
所以S22=22a1+
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
选A.设Sn=An+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B) =0. 【加固训练】在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11= ( ) A.24
B.48
C.66
D.132
2
【解析】选D.因a9=a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11=
=
=11×12=132.
,
3.(2016·淄博模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-am
B.Sm<0且Sm+1>0
D.Sm<0且Sm+1<0
>0,Sm+1=
*
【解析】选A.由题意知,a1+am>0,a1+am+1<0,得Sm=<0.
4.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N).若b3=-2,b10=12,则a8= ( ) A.0
B.3
C.8
D.11
【解析】选B.因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,
故公差d=
*
=2.于是b1=-6,
且bn=2n-8(n∈N),即an+1-an=2n-8.
所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. 5.设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{( ) A.
B.
C.
D. n+
2
}都是等差数列,且公差相等,则a1等于
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则Sn=n,所以
=,又因为数列{}是等差数列,则是关于n的一次
函数(或者是常数),则a1-=0,=n,从而数列{}的公差是,则=d,解得
d=0(舍去)或d=,故a1=.
【加固训练】(2016·兰州模拟)等差数列{an}中,值的集合为 ( ) A.{1} C.
B.
D.
=
是与n无关的常数m,所以
是一个与n无关的常数,则该常数的可能
【解析】选B.等差数列{an}中,设
a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,故
由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入第二个方
程可得m=1(因为a1≠0);若m=,代入第二个方程得d=a1. 二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·哈尔滨模拟)已知等差数列{an}中,a1+a3+a8=【解析】由a1+a3+a8=3(a1+3d)=
,则a1+3d=
,那么cos(a3+a5)= .
,所以cos(a3+a5)=cos(2a1+6d)
=cos
=-cos=-.
答案:-
7.若等差数列{an}满足a6+a7+a8>0,a6+a9<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大. 【解析】由等差数列的性质可得a6+a7+a8=3a7>0,即a7>0;而a6+a9=a7+a8<0,故a8<0.所以数列{an}的前7项和最大. 答案:7 8.已知等差数列
的公差d>0,若a1+a2+…+a2015=2015am(m∈N),则m= .
d
*
【解析】因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+a2015=2015a1+=2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得, 2015(a1+1007d)=2015,解得m=1008. 答案:1008 三、解答题
9.(10分)(2016·威海模拟)已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=(1)求a1, a2,a3,a4的值. (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)由Sn=S2=a1+a2=
+an(n∈N),可得a1=
*
+an(n∈N).
*
+a1,解得a1=1;
+a2,解得a2=2;
同理,a3=3,a4=4. (2)Sn=
+an,①
+an-1,②
当n≥2时,Sn-1=
①-②化简得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1, 又由(1)知a1=1,
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.
【加固训练】1.(2016·滨州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2且n∈N). (1)求证:数列
是等差数列.
*
(2)求Sn和an.
【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1= -2SnSn-1,①
所以Sn(1+2Sn-1)=Sn-1. 由上式知若Sn-1≠0,则Sn≠0. 因为S1=a1≠0,
由递推关系知Sn≠0(n∈N), 由①式得所以
-=2(n≥2).
=
=2,公差为2.
*
是等差数列,其中首项为
=
(2)由(1)可得因为所以Sn=
.
+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-当n=1时,a1=S1=不适合上式,
,
所以an=
2.数列{an}满足a1=1,a2=2, an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列. (2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+(n-1)×2=2n-1, 即an+1-an=2n-1, 于是
(ak+1-ak)=
2
(2k-1),
2
所以an+1-a1=n,即an+1=n+a1,
又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n-2n+2.
(20分钟 40分)
1.(5分)在等差数列A.6
中,已知a3+a8=6,则3a5+a7= ( )
C.18
D.24
2
B.12
【解析】选B.由等差数列性质知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)= 2(a3+a8)=12.
2.(5分)(2016·德州模拟)已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn=则数列A.S6
的前n项和Sn中的最大的值是 ( )
B.S5
C.S4
5
(n∈N),bn=log2an,
*
D.S3
【解析】选D.当n=1时,a1=T1==4,当n≥2时,an==,n=1也适合,所以
数列{an}的通项公式an=,所以bn=log2an=14-4n,数列{bn}是以10为首项,-4为公差
2
的等差数列,Sn=10n+=-2n+12n=-2,当n=3时,有最大值S3.
的前n项和为Sn,等差数列
的前n项和为
3.(5分)(2016·济南模拟)设等差数列Tn,若
=
,则+=.
+=
+
= . =
=
【解析】=
=
答案:
4.(12分)(2016·南宁模拟)已知a2,a5是方程x-12x+27=0的两根,数列{an}是公差为正数的等差数列,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn(n∈N).求数列{an},{bn}的通项公式. 【解析】因为x-12x+27=(x-3)(x-9)=0, 又数列{an}的公差d>0,所以a2=3,a5=9, 所以d=
=2,所以an=2n-1.
*
2
*
2
因为Tn=1-bn(n∈N),所以b1=.
高考理科数学一轮复习课时提升作业：第5章 5.2《等差数列及其前n项和》(含答案)
