双曲线
1.PF1?PF2?2a
x2y2
2.标准方程2?2?1
ab3.PF1d1
?e?1
4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.x2y2
9．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1
abx2y2
与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.abxxyyx2y2
10．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.ababx2y2
11．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦abP1P2的直线方程是x0xy0y?2?1.a2bx2y2b2
12．AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则kOM?kAB?2.abax0xy0yx02y02x2y2
13．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.abababx2y2x2y2x0xy0y
14．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.abababx2y21111
15．若PQ是双曲线2?2?1（b＞a＞0）上对中心张直角的弦，则2?2?2?2(r1?|OP|,r2?|OQ|).abr1r2ab
1x2y2
16．若双曲线2?2?1（b＞a＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax?By?1(AB?0),则(1)ab2a4A2?b4B21122
.?2?A?B;(2)L?22222ab|aA?bB|a2?b217．给定双曲线C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）,C2：bx?ay?(2ab)2,则(i)对C1上任意给定的2a?b
2
2
2
2
22
2
2
2
2
a2?b2a2?b2
点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(2x,?22y0).20
a?ba?b(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.'
'
'
'
'
'
x2y2
18．设P(x0,y0)为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为ab1?mb2
k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条件是k1?k2??.1?ma2x2y2
19．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则ab直线BC有定向且kBC
b2x0??2（常数）.ay0
x2y2
20．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲ab
线的焦点角形的面积为S?F1PF2
?a2b2?22??bcot，P(?c?bcot,?cot).2c2c22
x2y2
21．若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,?PF1F2??,ab?PF2F1??，则c?a??c?a???tancot（或?tancot）.c?a22c?a22x2y2
22．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：F1(?c,0),F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a.x2y2
23．若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.2x2y2
24．P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.x2y2
25．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要条件是ab(a2?b2)2
x0?222a?bk2
a??
k?0且k????.b??
26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.?x?asec?12
28．P是双曲线?（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e?.2y?btan?1?tan??x2y2x2y2
29．设A,B为双曲线2?2?k（a＞0,b＞0，k?0,k?1）上两点，其直线AB与双曲线2?2?1相交于P,Q,abab则AP?BQ.x2y2
30．在双曲线2?2?1中，定长为2m（m?0）的弦中点轨迹方程为ab???x2y2??2ay222
1??acosht?bsinht,cotht??,x?0时t?0，弦两端点在两支上????22???bx???ab??2
m??
2
y2??2bx???x222??1asinht?bcosht，cotht??,y?0时t?0，弦两端点在同支上????a2b2???ay?????
x2y2
31．设S为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，abM(x0,y0)是AB中点，则当l??S时，有(x0)min(x0)min?
a4b2?l2.2bca2l
(c2?a2?b2,e?);当l??S时，有??
ac2ex2y222222
32．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.ab(x?x0)2(y?y0)2
33．双曲线??1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是a2b2A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.3x2y2
34．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
ab中，记?F1PF2??,?PF1F2??,?F1F2P??，则有sin?c
??e.?(sin??sin?)ax2y2
35．经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和ab
P2，则|P1A1|?|P2A2|?b.2
x2y2
36．已知双曲线2?2?1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.（1）ab
2222
11114abab22
S;（2）|OP|+|OQ|的最小值为;（3）的最小值是.????OPQ22222222|OP||OQ|abb?ab?ax2y2
37．MN是经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于abMN的弦，则|AB|?2a|MN|.2
x2y2
38．MN是经过双曲线2?2?1（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP?MN，ab则2111
???2.22a|MN||OP|bax2y2
39．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与aba2
双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线l：x?上.m
40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2y2'
42．设双曲线方程2?2?1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y?kx的共轭直线y?kx上,而且abb2
kk?2.a'
4x2y2
43．设A、B、C、D为双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为?,?，直线ABab|PA|?|PB|b2cos2??a2sin2?与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.?
|PC|?|PD|b2cos2??a2sin2?x2y2
44．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1,F2为双曲线的焦点，?F1PF2的内（外）角平分线ab
为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是222
?ay?bx?x?c????).22222
x?y?a(cy?2a2y2?b2?x?c?2
45．设△ABC三顶点分别在双曲线?上，且AB为?的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线?相切的充要条件是D为EF的中点.x2y2
46．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交abx轴于P，则|PF|e
?.|MN|2b2x1x2y2
47．设A（x1,y1）是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2的直线L，又设d是原点abay1
到直线L的距离,r1,r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则rr12d?ab.x2y2x2y2
48．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）和2?2??（0???1），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、abab
D四点，则│AB│=|CD│.x2y2
49．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),aba2?b2a2?b2
则x0?或x0??.aax2y2
50．设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则ab?2b22
(1)|PF1||PF2|?.(2)S?PF1F2?bcot.21?cos?51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和a2?n?m?a?m?
AQ分别交相应于过B点的直线MN：x?n于M，N两点,则?MBN?90?.??2a?mb(n?a)252
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