正弦定理余弦定理综合应用,解三角形经典例题

由天下分享时间：2025/1/30 3:29:01 加入收藏我要投稿点赞

方法2：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA＝acosB 又b＝2RsinB，a＝2RsinA ∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π ∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.

【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.

cosAb

【例9】. 在△ABC中，在?ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若cosB ＝a ，试判断?ABC三角形的形状.

【解析】：方法1：利用余弦定理将角化为边 cosAbcosAsinB由已知cosB ＝a 及正弦定理得cosB ＝sinA ∴sin2A=sin2B

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝2 ，故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法2：利用正弦定理将边转化为角. ∵acosA＝bcosB

b2?c2?a2a2?c2?b2a?b2bc2ac∴

22222(a?b)(a?b?c)?0 ∴

∴a=b或者a?b?c?0

故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 【适时导练】

5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（） A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等边三角形

222【解析】2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

6.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）

sin（A+B），判断三角形的形状. 【解析】方法一已知等式可化为

a2［sin（A-B）-sin（A+B）］

=b［-sin（A+B）-sin(A-B)］ ∴2acosAsinB=2bcosBsinA

由正弦定理可知上式可化为： sinAcosAsinB=sinBcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2? 得2A=2B或2A=?-2B, 即A=B或A=

?-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 22

方法二同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB 由正、余弦定理,可得

b2?c2?a2a2?c2?b22b= ba

2bc2ac2

∴a(b+c-a)=b(a+c-b) 即(a-b)( a+b-c)=0

∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.

问题六：与其他知识综合

【例10】已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.

（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.

【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【解析】（1）由得由余弦定理得（2）

?sinA?sinB?sinA?sin(

2π2π2π?A)?sinA?sincosA?cossinA 333即.

rr【思考】坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则：

rr 向量的加减法运算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。 r 实数与向量的积：?a???x1,y1????x1,?y1?。

rrrr 平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2=abcos?

【适时导练】

7（2009浙江文）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosuuuruuurAB?AC?3．

（I）求?ABC的面积；（II）若c?1，求a的值．【解析】（Ⅰ）cosA?2cos2A25，?25A2523?1?2?()?1? 2552又A?(0,?)，sinA?1?cosA?所以?ABC的面积为：

43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所以bc?5，55114bcsinA??5??2 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?问题7：三角实际应用

【例11】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离. 【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。【解析】如图所示在△ACD中， ∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD=3 km.

在△BCD中，∠BCD=45°， ∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC=

6?23sin75?=.

2sin60?225?1?2?3?25

（3）+△ABC中，由余弦定理，得AB=（6?26?22×cos75° ）-2×3×22=3+2+3-3=5，∴AB=5(km).∴A、B之间的距离为5 km.

【例12】．（2007山东）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲 ?船航行20分钟到达A?2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 【解析】如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=102，

A1A202=302?60?102，∴A1A2=A2B2，又∠A1A2B2=180°-120°=60° ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2=A1A2=102.

由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，

B21B2= A221B1+ A1B2- A1B1·A1B2·cos45° =202+(102)2

-2×20×102×

22=200. ∴B1B2=102.

因此，乙船的速度的大小为

10220×60=302（海里/小时）. 答乙船每小时航行302海里. 【思考】正弦定理和余弦定理所需条件。【适时导练】

8.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为

750，300，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600，AC＝0.1km。

试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）【解析】在?ACD中，?DAC＝30°，?ADC＝60°－?DAC＝30°，

所以CD＝AC＝0.1

又?BCD＝180°－60°－60°＝60°，