2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
(本题共有6个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数,把x??x?称为x的小数部分.已知t?的小数部分,b是?t的小数部分,则
1,a是t2?311?? ( ) 2ba 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( )
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) 3(B).已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当
23333 a?b为整数时,ab? ( ) 4.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交eO于点E,若
AB?8,CD?2,则?BCE的面积为 ( )
0 5.如图,在四边形ABCD中,?BAC??BDC?90,AB?AC?5,CD?1,对角
线的交点为M,则DM? ( ) 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则
M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
3(x?0)的图象x(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2(B)】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上,?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴,点B在点A的上方,且AB?6,则点C的坐
标为 .
1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分,
AD?3,则AM? . 2(A).在四边形ABCD中,BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点,
CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .
3(B).若质数p、q满足:3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 . 第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、(本题满分20分)
已知a,b为正整数,求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值. 二、(本题满分25分)
(A).如图,点C在以AB为直径的eO上,CD?AB于点D,点E在BD上,AE?AC,四边形DEFM是正方形,AM的延长线与eO交于点N.证明:FN?DE.
333(B).已知:a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47.
22222求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值. 三、(本题满分25分)
(A).已知正实数x,y,z满足:xy?yz?zx?1 ,且
222222(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .
xyyzzx(1) 求
111??的值. xyyzzx(2) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx). (B).如图,在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点,点C关于直线
AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
(本题共有6个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)
1.用?x?表示不超过x的最大整数,把x??x?称为x的小数部分.已知t?1,a是
2?3t的小数部分,b是?t的小数部分,则
【答案】A. 【解析】Qt?11 ?? ( )
2ba1?2?3,1?3?2,?3?2?3?4, 即3?t?4,
2?3
又
?a?t?3?3?1.?t??2?3,?2??3??1,??4??2?3??3,
?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,故选A. 2ba2(2?3)2223?1 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图
书30本,那么不同的购书方案有 ( )
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,则??x?y?z?30,
?10x?15y?20z?500?y?z?30?x?y?20?2x即?,解得? 依题意得,x,y,z为自然数(非负整数),
3y?4z?100?2xz?10?x??故0?x?10,x有11种可能的取值(分别为0,1,2,L,9,10),对于每一个x值,y和z都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) 【答案】B.
22?【解析】(2k?1)3?(2k?1)3??(2k?1)?(2k?1)??(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)??
33332?2(12k2?1) (其中k为非负整数),由2(12k?1)?2016得,k?9
?k?0,1,2,L,8,9,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为
33333333333??1?(?1)?(3?1)?(5?3)?L?(17?15)?(19?17)?19?1?6860.故选B. ??3(B).已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a?b为整数时,( ) ab? 【答案】B. 【解析】依题意知a?0,?2b?0,a?b?1?0, 故b?0, 且b??a?1, 2aa?b?a?(?a?1)?2a?1,于是?1?a?0, ??1?2a?1?1
又a?b为整数,?2a?1?0, 故a??11?b,ab?,故选B. 244.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交eO于点E,
若AB?8,CD?2,则?BCE的面积为( ) 【解析】设OC?x,则OA?OD?x?2,
QOD?AB于C,?AC?CB?221AB?4, 22在Rt?OAC中,OC?AC?OA,
222即x?4?(x?2),解得x?3,即OC?3 (第4题答案图)
QOC为?ABE的中位线,?BE?2OC?6. QAE是eO的直径,??B?90o, 11?S?BCE?CB?BE??4?6?12. 故选A.
220 5.如图,在四边形ABCD中,?BAC??BDC?90,AB?AC?5,CD?1,对角线
的交点为M,则DM? ( )
(第5题答案图)
【答案】D. 【解析】过点A作AH?BD于点H,则?AMH~?CMD,?AHAM?,QCD?1, CDCM?AH?xAM,设AM?x, 则CM?5?x,?AH? CM5?x在Rt?ABM中,BM?AB2?AM2?x2?5, 则AH?AB?AM?BM5xx?52
?5xx2?5?x,显然x?0,化简整理得2x2?55x?10?0 5?x解得x?5,(x?25不符合题意,舍去),故 251,在Rt?CDM中,DM?CM2?CD2?,故选D. 22CM?6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( ) 【答案】C.
【解析】
当且仅当x?,y?0时,M取等号,故Mmax? 二、填空题(本题满分
123,故选C. 428分,每小题7分)
3(x?0)的图象x(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2(B)】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上,?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴,点B在点A的上方,且AB?6,则点C的坐标为 .
?3?【答案】??2,2??.
?? 【解析】如图,过点C作CD?AB于点D. 在Rt?ACB中,BC?AB?cos?ABC?33 在Rt?BCD中,CD?BC?sinB?33, (第1题答案图) 2?933??3?m,,An,, BD?BC?cosB?,?AD?AB?BD?,设C????????m??n?22?依题意知n?m?0,故CD?n?m,AD?33?,于是 mn?33?3?n?m??3?m???2,2? 解得,故点的坐标为. C2??????2??n?23?3?3?3??n2?m
初中联赛试题及答案
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