2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?的小数部分，b是?t的小数部分，则
1，a是t2?311?? （ ） 2ba 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 3(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当
23333 a?b为整数时，ab? （ ） 4.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,若
AB?8,CD?2,则?BCE的面积为 （ ）
0 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角
线的交点为M，则DM? ( ) 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则
M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
3（x?0）的图象x(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐
标为 .
1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分，
AD?3,则AM? . 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，
CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 . 第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值. 二、（本题满分25分）
(A).如图，点C在以AB为直径的eO上，CD?AB于点D,点E在BD上，AE?AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与eO交于点N.证明:FN?DE.
333(B).已知：a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47.
22222求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值. 三、（本题满分25分）
(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且
222222(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .
xyyzzx(1) 求
111??的值. xyyzzx(2) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx). (B).如图，在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线
AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?1，a是
2?3t的小数部分，b是?t的小数部分，则
【答案】A. 【解析】Qt?11 ?? （ ）
2ba1?2?3,1?3?2,?3?2?3?4, 即3?t?4,
2?3
又
?a?t?3?3?1.?t??2?3,?2??3??1,??4??2?3??3,
?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,故选A. 2ba2(2?3)2223?1 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图
书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,则??x?y?z?30，
?10x?15y?20z?500?y?z?30?x?y?20?2x即?，解得? 依题意得，x,y,z为自然数（非负整数），
3y?4z?100?2xz?10?x??故0?x?10,x有11种可能的取值（分别为0,1,2,L,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 【答案】B.
22?【解析】(2k?1)3?(2k?1)3??(2k?1)?(2k?1)??(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)??
33332?2(12k2?1) （其中k为非负整数），由2(12k?1)?2016得，k?9
?k?0,1,2,L,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
33333333333??1?(?1)?(3?1)?(5?3)?L?(17?15)?(19?17)?19?1?6860.故选B. ??3(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a?b为整数时，（ ） ab? 【答案】B. 【解析】依题意知a?0,?2b?0,a?b?1?0, 故b?0, 且b??a?1， 2aa?b?a?(?a?1)?2a?1，于是?1?a?0, ??1?2a?1?1
又a?b为整数，?2a?1?0, 故a??11?b,ab?，故选B. 244.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,
若AB?8,CD?2,则?BCE的面积为（ ） 【解析】设OC?x,则OA?OD?x?2,
QOD?AB于C,?AC?CB?221AB?4, 22在Rt?OAC中，OC?AC?OA,
222即x?4?(x?2),解得x?3，即OC?3 （第4题答案图）
QOC为?ABE的中位线，?BE?2OC?6. QAE是eO的直径，??B?90o, 11?S?BCE?CB?BE??4?6?12. 故选A.
220 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角线
的交点为M，则DM? ( )
（第5题答案图）
【答案】D. 【解析】过点A作AH?BD于点H,则?AMH～?CMD,?AHAM?,QCD?1, CDCM?AH?xAM,设AM?x, 则CM?5?x,?AH? CM5?x在Rt?ABM中，BM?AB2?AM2?x2?5, 则AH?AB?AM?BM5xx?52
?5xx2?5?x,显然x?0，化简整理得2x2?55x?10?0 5?x解得x?5,（x?25不符合题意，舍去），故 251,在Rt?CDM中，DM?CM2?CD2?,故选D. 22CM?6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( ) 【答案】C.
【解析】
当且仅当x?,y?0时，M取等号，故Mmax? 二、填空题（本题满分
123，故选C. 428分，每小题7分）
3（x?0）的图象x(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐标为 .
?3?【答案】??2,2??.
?? 【解析】如图，过点C作CD?AB于点D. 在Rt?ACB中，BC?AB?cos?ABC?33 在Rt?BCD中，CD?BC?sinB?33, （第1题答案图） 2?933??3?m,,An,， BD?BC?cosB?,?AD?AB?BD?,设C????????m??n?22?依题意知n?m?0,故CD?n?m,AD?33?，于是 mn?33?3?n?m??3?m???2,2? 解得，故点的坐标为. C2??????2??n?23?3?3?3??n2?m
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