局部凸空间的中点局部k－一致*凸性与中点局部k－一致
光滑性
陈利国1，罗 成2，王 君1
【摘 要】摘 要:引入局部凸空间的中点局部k－一致凸性和中点局部k－一致光滑性这一对对偶概念，它们既是Banach空间中点局部k－一致凸性和中点局部k－一致光滑性推广，又是局部凸空间中点局部一致凸性和中点局部一致光滑性的自然推广。讨论它们与其它k－凸性 (k－光滑性)之间的关系。 【期刊名称】中山大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2013(052)002 【总页数】5
【关键词】关键词:偶对;中点局部k－一致凸性;中点局部k－一致光滑性;弱中点局部k－一致凸性;弱中点局部k－一致光滑性
1977年，文献 ［1］首次给出局部凸空间严格凸的定义，并开始对局部凸空间凸性的研究，之后，文献［2］进一步研究了严格凸的条件。1989年，文献 ［3］中给出与文 ［2］中严格凸等价的定义，同时首次给出局部凸空间光滑性的定义，并建立严格凸性与光滑性的对偶关系，随后又在文献［4］中给出局部凸空间一致凸性的概念。2003年，文献 ［5］利用X上定义的一族半范数P，重新给出偶对 (X，P)的几种凸性和光滑性的定义，讨论了几种凸性 (光滑性)之间的关系，并建立重要的对偶关系。2010年，文献［6］将几种凸性和光滑性推广为k－凸性和k－光滑性［5］。但对于某些k－凸性和k－光滑性的研究却很少。主要原因是未能体现k－凸性和k－光滑性的重要对偶性质。2011年，文献 ［7］给出局部凸空间的 (弱)中点局部一致凸性，并证明它与(弱)中点局部
一致光滑性是一对对偶概念［8］。本文进一步研究局部凸空间的k－凸性和k－光滑性，首先，引入局部凸空间的 (弱)中点局部k－一致凸性和 (弱)中点局部k－一致光滑性这一对对偶概念，它们既是Banach空间相应概念的严格推广［9－10］，又是局部凸空间 (弱)中点局部一致凸性和 (弱)中点局部一致光滑性的自然推广。然后，讨论它们与其它k－凸性 (k－光滑性)之间的重要关系，推广了Banach空间的某些结果。
下面是本文用到的一些预备知识和记号，以方便读者能够更快地了解本文。 设X是一个实线性空间，P是X上的一可分离的半范数族 (即满足，其中p－1(0)={x∈X:p(x)=0})(下同)，令 TP是由半范数族P生成的X上的局部凸拓扑，则 (X，TP)是局部凸分离空间。下文中，凡提到局部凸分离空间 (X，TP)时，总意味着TP是由X上的某一族分离的半范数P生成的。
对任意p∈P，(X，p)为一个半范空间，用(X，p)′表示(X，p)上连续线性泛函全体作成的对偶空间，其中范数定义为，?f∈(X，p)′，则 (X，p)′按范数 ‖·‖′p是一个 Banach空间［11］。记′表示(X，TP)的拓扑对偶空间，对任意 p∈ P，记f(x)|＜+∞}，则X′(p)是X′的一个线性子空间，且在文献［5］中已经证明了对任意 p∈ P，有(X，p)′=X′(p)。
对任意一正数族{Cp＞0∶p∈P}，记B{Cp}=Δ{x∈X∶p(x)≤Cp，p∈P}，易知B{Cp}是(X，TP)中的绝对凸有界闭集。对于每一个B{Cp}，定义X′上的半范数|?f∈X′，并称是由B{Cp}决定的X′上的半范数。记P*是形如的全体半范数构成半范数族，P*生成X′上的局部凸拓扑，记为TP*。这样又得到X′上的半范数族P*和局部凸空间(X′，TP*)。类似可以得到 P＊＊ 和 (X″，TP＊＊)等概念。如同赋范空间用偶对 (X，‖·‖)表示一样，我们对由一族半范数P在其上生成局
部凸拓扑TP的空间X，也用偶对 (X，P)来表示。 下面给出本文中常用的几个符号:
对任意p∈P，令Up(X){x∈X:p(x)≤1}，Sp(X)={x∈X:p(x)=1}，即Up(X)和Sp(X)分别表示半范空间(X，p)中的单位球和单位球面;
记f(x)|≤1};对任意p∈ P，x∈ Sp(X)，令∑p(x){f∈X′(p):‖f‖′p=1 且f(x)=1}，由 Hahn －Banach定理容易知道∑p(x)是非空的;(类似可以 给 出 Sp*(X′) 和 Up*(X′);S(X″(p*)) 和U(X″(p*));∑p*(f)等)。 对任意的 p∈P ，x1，x2，…，xk+1∈Sp(X)，记
本文所用到的其它有关概念和记号，请参见文献 ［5，7，11］。
1 相关概念
定义1［5］ 设B是(X，TP)中形如B{Cp}的绝对凸有界闭集，p∈P，若Cp=1，则称B是(X，TP)中的p－正规集。(容易知道若B是p－正规集，则B?Up(X))。 定义2［6］ 称偶对(X，P)为 k－强凸 (k－非常凸)的，若对任意 p∈ P，x∈ Sp(X)，f∈∑p(x)，以及TP有界的序列 ，且时，有。(对任意f1，f2，…，fk∈ S(X′(p))，有
定义3［6］ 称偶对 (X，P)为 k－严格凸的，若对任意p∈P，当x1，x2，…，xk+1∈X且满足p(x1)=1 时，有 Ap(x1，x2，…，xk+1)=0 。
定义4［6］ 称偶对(X，P)为k－光滑的，若对任意p∈P，x∈Sp(X)，以及X中含有x的任一p－正规集B决定的X′上的半范数，当{f1，f2，…，fk+1}?∑p(x)时，有(f1，f2，…，fk+1)=0。
定义5［6］ 称偶对(X，P)为k－强光滑(k－非常光滑)的，若对任意的p∈P，x∈Sp(X)，以及X中含有x的任一p－正规集B决定的X′上的半范数，当?
局部凸空间的中点局部k-一致凸性与中点局部k-一致光滑性
