专题：复合函数的定义域
讲解内容：
复合函数的定义域求法 讲解步骤：
第一步：函数概念及其定义域
函数的概念：设是A,B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的函数，
记作：y?f(x),x?A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的
y的值叫做函数值.
第二步：复合函数的定义
一般地：若y?f(u)，又u?g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数
y?f[g(x)]叫x的复合函数，其中y?f(u)叫外层函数，u?g(x)叫内层函数，简言之：复合函
数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
2例如: f(x)?3x?5,g(x)?x?1； 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)，
f(g(x))?3g(x)?5?3(x2?1)?5?3x2?8
问：函数f(x)和函数f(x?5)所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x的取值范围，这里x和x?5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）
第三步：介绍复合函数的定义域求法
例1. 已知f(x)的定义域为?3,5?，求函数f(3x?2)的定义域； 解：由题意得
Q?3?x?5 ??3?3x?2?5
??1?3x?7
??17?x? 33?17???2 所以函数f(3x?2)的定义域为??,?. 333]，求f(x?2x)定义域。 练1.已知f(x)的定义域为(0，解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
2??x??2，或x?0?x?2x?0 0?x?2x?3?? ??2???3?x?1?x?2x?32即?3?x??2或0?x?1
故f(x?2x)的定义域为??3,?2???0,1?
2例2. 若函数f?3?2x?的定义域为??1,2?，求函数f?x?的定义域 解:由题意得
??2?x?3 ??6?3x?9 ??4?2?3x?11 所以函数f(x)的定义域为：??4,11?
例3. 已知f(x?1)的定义域为[?2，3)，求f?x?2?的定义域。 解 由f(x?1)的定义域为[?2，3)得?2?x?3，故?1?x?1?4
即得f?x?定义域为[?1，4)，从而得到?1?x?2?4，所以1?x?6 故得函数f?x?2?的定义域为?1,6?
例4. 已知函数f?x?定义域为是[a,b]，且a?b?0,求函数h?x??f?x?m??f?x?m??m?0?的
定义域 解: ??a?x?m?b?a?m?x?b?m，?m?0,?a?m?a?m ???a?x?m?b?a?m?x?b?mb?a，这时函数2b?m?b?m，又a?m?b?m
要使函数h?x?的定义域为非空集合，必须且只需a?m?b?m，即0?m?h?x?的定义域为[a?m,b?m]
第四步：总结解题模板
1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g?x?]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x??a,b?，求出f[g(x)]中a?g(x)?b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。
2.已知复合函数f[g?x?]的定义域，求f(x)的定义域
方法是：若f[g?x?]的定义域为x??a,b?，则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g?x?]定义域求得
f?x?的定义域，再由f?x?的定义域求得f[h?x?]的定义域。
4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
复合函数定义域
