2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题
1．设非零实数，，满足则的值为（ ）． （A） 【答案】A
【解答】由已知得，故．于是，所以．
2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）．
（A） （C） 【答案】B
【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，， 于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一．．定是有理数的为（ ）． ．
（A）OD （C）DE 【答案】D
【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．
由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A）3 （C）6 【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC，
（B）4 （D）8 （B）OE （D）AC
（B） （D）
（B）
（C）
（D）
因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：
，
且，则的值为（ ）．
（A） 【答案】C 【解答】设，则 ， 于是．
二、填空题
6．设，b是的小数部分，则的值为 ． 【答案】
【解答】由于，故，因此．
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．
【答案】
【解答】如图，连接AF，则有：
， ，
解得，．
所以，四边形AEFD的面积是．
8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为 ． 【答案】
【解答】由已知，消去c，并整理得 ．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3． 若，则，无正整数解； 若，则，无正整数解；
（B）
（C）
（D）
若，则，于是可解得，． （i）若，则，从而可得； （ii）若，则，从而可得． 综上知的最大值为．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 ．
【答案】，（为任意实数） 【解答】由韦达定理得 由上式，可知． 若，则，，进而．
若，则，有（为任意实数）．
经检验，数组与（为任意实数）满足条件．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
【答案】207
【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 所以，
于是是整数．又，
所以，故y的最小值为207，此时．
三、解答题
11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．
求∠DBC?∠CBE．
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)
