2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五
1．（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q
ab是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
cx； a本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).
由P(x,y)在椭圆上，得
b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa
c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.
a由r1?r2?2a,r12?r22?4cx,得|F1P|?r1?a?
2cac|FP|c由椭圆第二定义得，即|F1P|?|x?1|?|a?x|. ?acaaa2|x?|c 由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分 aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. ?x???设点Q的坐标为（x?,y?），则??y???x??c,2 y?.2
因此??x??2x?c, ①
?y??2y.222
由|F1Q|?2a得(x??c)?y??4a. ② 将①代入②，可得x?y?a.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.……………………7分
222222 （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④
2b2. 所以，当a?b时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc2b当a?时，不存在满足条件的点M.………………………11分 c
2当a?b时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)，
c222222由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，
MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22③ ?x0?y0?a2,? ?1
2??2c|y0|?b.④ ?2
b2b4b2b222. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0. 由④得|y0|?cccc2b于是，当a?时，存在点M，使S=b2； c2当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c
2y0y0b当a?时，记k1?kF1M?， ,k2?kF2M?x0?cx0?cc由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?F1MF2?|k1?k2|?2.…………14分
1?k1k22．（本小题满分12分）
函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设
x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m.
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；
3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问
年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五
