[对应学生用书P46]
1．虚数单位i
(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i(n∈N*)，则有in＋in1＋in
＋
＋
＋
＋
＋2
＋in3＝0(n∈N*)．
＋
2．复数的分类 复数
?实数?b＝0?
?纯虚数?a＝0，b≠0?(z＝a＋bi，a，b∈R)?虚数????b≠0???非纯虚数?a≠0，b≠0?
3．共轭复数的性质
设复数z的共轭复数为z，则 (1)z·z＝|z|2＝|z|2；
(2)z为实数?z＝z，z为纯虚数?z＝－z. 4．复数的几何意义
.
5．复数相等的条件
(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝b＝0.
注意：两复数不是实数时，不能比较大小．
(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2?对应点Z1，Z2重合?OZ1与OZ2重合． 6．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
[对应学生用书P65]
(时间：120分钟，总分：160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.
解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 答案：－5
2．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________. 解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 答案：3＋4i
3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________． 解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
|4＋3i|5?3＋4i?3＋4i34∴z＝＝＝＝＋i，
5553－4i?3－4i??3＋4i?4
∴z的虚部是.
54答案： 5
m
4．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于________．
1＋im
解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，
1＋i因为m，n∈R，
???1－n＝0，?n＝1，?所以所以? ?1＋n＝m，???m＝2，
即m＋ni＝2＋i. 答案：2＋i a ?5．定义运算?
?c
?1 －1?
?＝ad－bc，则满足条件??＝4＋2i的复数z为________． d??z zi?
b?
?1 －1?解析：??＝zi＋z，
?z zi?
设z＝x＋yi，
∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，
???x－y＝4，?x＝3，?∴∴? ?x＋y＝2，???y＝－1.
∴z＝3－i. 答案：3－i
2－i6．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．
1＋i2－i?2－i??1－i?1－3i13解析：＝＝＝－i，
1＋i?1＋i??1－i?12＋1222对应的点位于第四象限． 答案：四
5?4＋i?27.＝________. i?2＋i?
5?4＋i?25?15＋8i?5?15＋8i??－1－2i?解析：＝＝
i?2＋i?－1＋2i?－1?2＋22＝1－38i. 答案：1－38i
1＋ia
8．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
21＋i1＋ia?1－i?1＋i?a1??1－a?a
解析：∵＋＝＋＝?2＋2?＋i是实数，
22221＋i∴
1－a
＝0，即a＝1. 2
答案：1
2
9．复数z满足方程?z＋1＋i?＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．
??
2
解析：?z＋1＋i?＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.
??
设－1＋i对应的点为C(－1,1)，则|PC|＝4，
因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆． 答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆
10．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________. 解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，
4
故zi＝4，∴z＝＝－4i.
i答案：－4i
11．若复数z满足|z|－z＝
10
，则z＝________. 1－2i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|z|－z＝a2＋b2－(a－bi)＝a2＋b2－a＋bi， 10?1＋2i?10?1＋2i?10＝＝22＝2＋4i， 1－2i?1－2i??1＋2i?1＋2
??a2＋b2－a＝2，?a＝3，∴?解得?
?b＝4.??b＝4，
∴z＝3＋4i. 答案：3＋4i
12．若OA＝3i＋4，OB＝－1－i，i是虚数单位，则AB＝________.(用复数代数形式表示)
解析：由于OA＝3i＋4，OB＝－1－i，i是虚数单位， 所以AB＝OB－OA＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i. 答案：－5－4i
13．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．
解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.
答案：1
14．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根，则纯虚数m的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x0，设m＝ai代入方程得x20＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，
化简得，(2x0＋1)i＋x20＋x0＋3a＝0，
??2x0＋1＝0，
∴?2 ?x0＋x0＋3a＝0，?
11解得a＝，∴m＝i. 12121
答案：i 12
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)计算：
?2＋i??1－i?24＋5i(1)；(2).
1－2i?5－4i??1－i??2＋i??1－i?2?2＋i??－2i?解：(1)＝
1－2i1－2i＝
2?1－2i?＝2. 1－2i
4＋5i?5－4i?i(2)＝ ?5－4i??1－i??5－4i??1－i?＝
i?1＋i?i－1i＝＝
21－i?1－i??1＋i?
11
＝－＋i. 22
16．(本小题满分14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零．
解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R， ∴k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
2??k－3k－4＝0，(3)当?2时，z是纯虚数，
?k－5k－6≠0?
∴k＝4.
2??k－3k－4＝0，(4)当?2时，z＝0，解得k＝－1.
?k－5k－6＝0?
综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R. 当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
?1＋i?2?3＋4i?2
17．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
2z解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z， 得a2＋b2－1－3i＋a＋bi＝0，
??a2＋b2＋a－1＝0，?a＝－4，
则?所以?
?b＝3，??b－3＝0，
所以z＝－4＋3i.
苏教版高中数学选修2-2第3章 3.3 复数的几何意义 学案(4)
