平面向量的概念、线性运算及坐标表示
基础知识：
1. 了解向量的实际背景、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。 2. 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
3. 掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。 4. 了解平面向量的基本定理及其意义。 5. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 典型例题： 例1给出下列命题：
②?? |a|?|b|，则a?b；②若A,B,C,D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四
边形的充要条件；③若a?b，c?b，则a?c；④a?b的充要条件是|a|?|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c.
其中正确命题的序号是（ ）A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 例2（1）若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( )
A．(－2，－4) B．(3，－4) C．(6,10)
D．(－6，－10)
(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a?2b与c共线，则k＝__________. (3)已知点A(1，-2),若向量AB与a?(2,3)同向，|AB|?213,则点B的坐标为 例3(1)平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F。若AC?a,BD?b,则AF=( )
11211112a?ba?ba?ba?bA. 42 B. 33 C. 24 D. 33
|PA|2＋|PB|2(2) 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
|PC|2A．2 B．4 C．5 D．10 (3)在?OAB中，
OC?11uurruuurrrrOAOD?OB,,AD与BC交于点M，设，OA?aOB?b，用a,b表24uuur示OM.
uuur例4（1）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM＝uuuruuuruuur11
xAB，AN＝yAC，求＋的值．
xy
uuuruuuruuuruuur（2）VABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，在实
数m为多少？
uuuruuuruuur例5(1)在VABC中，O是外心，AB=6，AC=10，若AO?xAB?yAC且x+10y=5求cosA的值? uuruuuruuurr（2）设点O在VABC的内部，且有OA?2OB?3OC?0则VABC的面积与VAOC的面积之比
uuuruuruuur为多少？（3）在扇形OAB中，?AOB?60?，C为弧AB上的一个动点，若OC?xOA?yOB,
则x+3y的取值范围是？
1.给出下列命题:(1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.(2)两个向量不能比较大小,但它
rrrrrr们的模能比较大小.(3)λa =0 (λ为实数),则λ必为零.(4)λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共
线.其中错误的命题的个数为( ) (A)1 (B)2
(C)3
(D)4
rr2.平面向量a,b共线的充要条件是( )
rrrrr(A) a,b方向相同 (B) a,b两向量中至少有一个为0
rrrrr(C)存在λ∈R,使b=λa (D)存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 rrrrrrr|a|3.已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b且a⊥c,则的值为( )
|b|1 (D)23 23rrrrrr4.已知向量a?(1,1),b?(2,x).若a?b与4b?2a平行，则实数x的值是( ）
(A)2
(B) 3 (C)
A．-2
B．0
C．1
D．2
5. 已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( )
(A)AD?BE?CF?0 (B) BD?CF?DF?0 (C) AD?CE?CF?0 (D) BD?BE?FC?0 6.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP?xOA?yOB,且BP?2PA,则( ) (A)x=
21,y= 33 (B)x=
121331,y= (C)x=,y= (D)x=,y= 3344447.已知点P是△ABC所在平面内一点,且满足3PA?5PB?2PC?0,设△ABC的面积为S,则△PAC的面积为( )(A)
3212S (B) S (C) S (D) S 4325→
8.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若OC＝→→
xOA＋yOB,则( ) (A)0 rrrr9.设M ={a|a?(2,0)?m(0,1),m?R }和N={b|b?(1,1)?n(1,?1),n?R }都是元素为向量的集合,则 M∩N= . ururuurururrurruurur10.已知平面向量?,? (?≠?)满足|?|=2,且?与?-?的夹角为120°,则|(1?t)??t?|(t∈R)的 最小值是 . rr11.在?ABCD中,AB= a, AD=b, AN?3NC,M为BC的中点,则MN= rr(用a,b表示). 1NC,P是BN上的一点,若AP?mAB?2AC,则实数m的为 . 311rrrrrrr13.设a,b,c为三个非零向量，a+b+c=0且a?2,b?c?2，则b?c的最大值 12.在△ABC中,AN?是 . 14.过△ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D,E. 若AD?xAB,AE?yAC,xy?0，则 11?的值为 . xy→→→→→→→ 15．已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m，m n∈R)，则＝________. n →→→ 16．已知A(－3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________． rrr17.平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题： rururrrrrrrr(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c) urrurrr∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d. rrr18.已知P为△ABC内一点,且3AP?4BP?5CP?0,延长AP交BC于点D,若AB=a,AC=b,用a、rb表示向量AP,AD. 19.设点O在△ABC内部,且有4OA?OB?OC?0,求△ABC的面积与△OBC的面积之比.
高考数学必考知识点复习平面向量的概念、线性运算及坐标表示 测试题
