第二章 相交线与平行线
1．(2024·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( C )
A．∠AOD＝∠BOC C．∠AOC＝∠AOE
B．∠AOE＋∠BOD＝90° D．∠AOD＋∠BOD＝180°
2．(2024 ·湖南株洲荷塘区期末)如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm，则点C到AB的距离为( C )
A．4 cm B．3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm
3.如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ，∠5＝ 150° ，∠6＝ 120° . 4．(2024·广东二模)若∠1与∠2是对顶角，∠2的邻补角(有一条公共边且互补的角)是∠3，∠3＝45°，则∠1的度数为 135° .
5．(2024·江苏泰州月考)若∠A和∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的两倍少30°，则∠B的度数是 30°或70° .
6．(2024·辽宁大连甘井子区期中)如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OF⊥CD，∠AOD＝50°，求∠DOP的度数．
解：因为∠AOD＝∠BOC，∠AOD＝50°，所以∠BOC＝50°.因为OP平分∠BOC，所以∠POB＝∠POC＝1
∠BOC＝×50°＝25°，所以∠DOP＝180°－∠POC＝180°－25°＝155°.
2
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.
12
(1)求∠DOE的度数； (2)求∠AOF的度数．
1
解：(1)因为∠AOD∶∠BOD＝2∶1，∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠BOD＝×180°＝60°.
3因为OE平分∠BOD，
11
所以∠DOE＝∠BOD＝×60°＝30°.
22
(2)∠COE＝180°－∠DOE＝180°－30°＝150°.
11
因为OF平分∠COE，所以∠COF＝∠COE＝×150°＝75°.因为∠AOC＝∠BOD＝60°，所以∠AOF＝
22∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.
8．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF. (1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的式子表示) (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
解：(1)因为∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，所以∠AOF＝140°. 又因为OC平分∠AOF， 1
所以∠FOC＝∠AOF＝70°.
2
所以∠EOD＝∠FOC＝70°(对顶角相等)． 又∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝50°， 所以∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝20°.
(2)因为∠AOE＋∠AOF＝180°，∠AOE＝α， 所以∠AOF＝180°－α.又因为OC平分∠AOF， 11
所以∠FOC＝∠AOF＝90°－α.
22
1
所以∠EOD＝∠FOC＝90°－α(对顶角相等)．
2又∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α，
1
所以∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝α.
2
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD.
9．(2024·陕西中考)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为( C )
A．52° B．54° C．64° D．69°
10．(2024·贵州安顺中考)如图，三角尺的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
11．(2024·山东菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是 80° .
12．(2024·广东惠州惠阳区期末)如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°. (1)求∠ACB的度数；
(2)若∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
解：(1)因为EF∥AD，EF∥BC，所以AD∥BC， 所以∠ACB＋∠DAC＝180°.
因为∠DAC＝120°，所以∠ACB＝60°.
(2)因为∠ACF＝20°，所以∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°. 因为CE平分∠BCF，所以∠BCE＝20°. 因为EF∥BC，所以∠FEC＝∠BCE＝20°.
13．(2024 ·广西贵港覃塘区期末)如图，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E，∠ADE＋∠BCF＝180°.
(1)请说明AB∥EF；
(2)若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
1
解：(1)因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠ABC.
2
1
又因为∠ABC＝2∠E，所以∠E＝∠ABC，所以∠E＝∠ABE，所以AB∥EF.
2(2)结论：AF⊥BE.理由如下：
因为∠ADE＋∠ADF＝180°，∠ADE＋∠BCF＝180°， 所以∠ADF＝∠BCF，所以AD∥BC， 所以∠DAB＋∠CBA＝180°. 因为AF平分∠BAD，BE平分∠ABC， 11
所以∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，
22所以∠OAB＋∠OBA＝90°，所以∠AOB＝90°， 所以AF⊥BE.
14．(2024·四川成都郫都区期中)如图，直线a∥b，直线c和直线a，b分别交于点C和D，在C，D之间有一点P.
(1)判断图中∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，并说明理由；
(2)如果点P在C，D之间运动，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？
(3)若点P在直线c上C，D两点的外侧运动(点P与点C，D不重合)，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？分别画出图形并说明理由． 解：(1)∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由如下：
如图1，过点P作PE∥a.因为a∥b，所以PE∥b∥a， 所以∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2， 所以∠APB＝∠1＋∠2＝∠PAC＋∠PBD.
(2)当点P在C，D之间运动时，仍为∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
(3)如图2，当点P在C，D两点的外侧运动，且在直线a的上方时，∠PBD＝∠PAC＋∠APB.理由如下： 因为a∥b，所以∠PEC＝∠PBD.
因为∠PEC＋∠PEA＝180°，∠PAC＋∠APB＋∠PEA＝180°，所以∠PEC＝∠PAE＋∠APB，所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
如图3，当点P在C，D两点的外侧运动，且在直线b的下方时，∠PAC＝∠PBD＋∠APB.理由如下： 因为a∥b，所以∠PED＝∠PAC.
因为∠PED＋∠BEP＝180°，∠EBP＋∠BPA＋∠BEP＝180°，所以∠PED＝∠PBD＋∠APB，所以∠PAC＝∠PBD＋∠APB.
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