课时作业32 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于( D ) ?－1?n＋1A．
2n＋1C．cosπ
2
nπB．cos 2n＋2
D．cosπ
2
解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．
2．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于( D ) A．5 C．10
B．9 D．15
解析：令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故选D．
n1
3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于( D )
a5n＋15
A．
61C．
30
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
6B． 5D．30
n－1n11－＝，所以＝5×6＝30.
na5n＋1n?n＋1?
17
4．(2020·辽宁锦州月考)已知数列{an}满足a1＝，对任意正整数n，an＋1＝an(1－an)，
72则a2 019－a2 018＝( B )
4
A．
74C．－
7
3B． 73D．－
7
173636
解析：∵a1＝，an＋1＝an(1－an)，∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，∴n≥2时，{an}
72777763633
的奇数项为，偶数项为，∴a2 019－a2 018＝－＝，故选B．
77777
n－
5．(2020·山西河津月考)设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n1an＝(n∈N*)，则{an}
2的通项公式为an＝( C )
1A．
2n
1B．n－1 2
1C．n
2
D．
12n
＋1
n
解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，
2
1111
∴易知n≥2时，2n－1an＝，又a1＝，∴对一切n∈N*,2n－1an＝，∴an＝n，故选C．
22226．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是( B ) A．第2项 C．第4项
B．第3项 D．第5项
解析：∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式． ∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
11
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
4∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
7．(2020·西宁模拟)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a2n(an>0)，则an＝( D ) A．10n2 C．102n4
－－
B．10n1 D．22n1
－
－
log2an＋1解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a2(a>0)，所以loga＝2loga?＝2，nn2n＋12n
log2an
所以{log2an}是公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1?an＝22n－1.
11
8．(2020·陕西西安模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则使a1＋a2＋…
2an
＋ak<100(k∈N*)成立的k的最大值为( C )
A．198 C．200
B．199 D．201
1113
解析：∵a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，∴a2＝－1，a3＝2，a4＝，…，∴a1＋a2＋a3＝，2an22∴a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＝
197
<100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＝2
201
>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＋a202＝101>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋2
a199＋a200＋a201＋a202＋a203＝100，∴满足题意的k的值为200，故选C．
二、填空题
9．若数列{an}的前n项和
Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式
??2，n＝1，an＝?.
?6n－5，n≥2?
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
??2，n＝1，
故数列{an}的通项公式为an＝?
??6n－5，n≥2.
210．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝2. n－n＋2解析：由an－an＋1＝nanan＋1，得
1
－＝n， an＋1an1
n2－n11
则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)，
ana12
2
n2－n＋21n－n
又因为a1＝1，所以＝＋1＝，
an22
2
所以an＝2(n≥2)，经检验，当n＝1时，a1＝1符合上式．
n－n＋22
所以an＝2(n∈N*)．
n－n＋2
11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝3×2n1－2.
解析：由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1， ∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，
经检验，当n＝1时，a1＝1，符合上式． ∴an＝3×2n－1－2.
12．(2019·福州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)，若数列{bn}满足anbn＝－n2＋9n－20，且bn＋1 解析：因为a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)， 所以a1＝λ－1＝1，解得λ＝2， 所以Sn＝2an－1，所以Sn－1＝2an－1－1(n≥2)， 所以an＝2an－1，所以an＝2n－1(n≥2)． 因为当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1. － －n2＋9n－20 因为anbn＝－n2＋9n－20，所以bn＝， 2n－1n2－11n＋28?n－4??n－7? 所以bn＋1－bn＝＝<0， 2n2n解得4 9n2－9n＋2 13．(2020·甘肃酒泉联考)已知数列{an}的通项公式是an＝. 9n2－198 (1)判断是不是数列{an}中的项； 101 12?(2)在区间??3，3?内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由． 9n2－9n＋2?3n－1??3n－2?3n－2解：(1)因为an＝＝＝， 9n2－1?3n－1??3n＋1?3n＋13n－298100 所以由an＝＝，解得n＝. 33n＋1101 10098 因为不是正整数，所以不是数列{an}中的项． 31011213n－22(2)令 3333n＋13 ??3n＋1<9n－6，78则?解得 63 ?9n－6<6n＋2，? 12?又n∈N*，所以n＝2，故在区间??3，3?内有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项． 14．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足 Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] ＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1. 因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n∈N*)， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2， 当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2. 2an 15．(2020·辽宁五校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－an＝(n－1)2，bn＝2，Sn 则数列{bn}的最小项为( B ) A．b2 C．b4 B．b3 D．b5 解析：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－an＝Sn－1(n≥2)．又Sn－an＝(n－1)2，所以Sn 2 －1＝(n－1)(n≥2)，则 Sn＝n2(n∈N*)．于是an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，又a1 22n－122n＋1bn＋1?2n?22n4 * ＝1，符合上式，所以an＝2n－1(n∈N)，所以bn＝4，bn＋1＝，＝＝??n?n＋1?4bn?n＋1?4?n＋1? 4.令 2n1 >1，则n>2＋1，所以当1≤n<3时，bn>bn＋1，当n≥3时，bn 2n＋1 32 ＝，b2>b3，所以b3最小．故选B． 81 16．(2020·河北唐山模拟)各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an·an＋2＝3an＋1(n∈N*)，则a5·a2 019＝27. 解析：由an·an＋2＝3an＋1知n≥2时，an－1·an＋1＝3an，两式相乘得an－1·an＋2＝9，又an an＋5＝9，得＋2· an－1＝an＋5，则数列周期为6，又a1a4＝9，则a4＝9，故a5·a2 019＝a5·a6×336 a3＝3a4＝27. ＋3＝a5· 17．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 4 (2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0正整数m的个数，称为这个数列{cn} an 的变号数，求数列{cn}的变号数．
2021届高考数学一轮总复习课时作业32数列的概念与简单表示法含解析苏教版
