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10．计算I=?xdx?3zydy?xydz,其中?是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
?322的直线段AB 解：直线段AB的方程是
x3?y2?z1；化为参数方程得：
x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0， 所以：
I=?xdx?3zydy?xydz
?322 ＝?[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt＝87103220?tdt??38741 ＃
?11. 计算曲线积分I=??AMO(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy, 其中AMO是由点A(a,0)
至点O(0, 0) 的上半圆周x2?y2?ax
解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0)
?将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA上, ?从而???OA(exsiny?2y)dx?(e?xcosy?2)dy?0
AMO???AMO??OA??AMOA
又由Green公式得:
?AMOA(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?2??x?y?ax22dxdy??a42 ＃
12. 计算曲线积分?zdx?xdy?ydz其中L是z=2(x2?y2)与z=3?x2?y2 的交线
L333沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L写成参数方程:
x=cost, y=sint, z=2 t: 0?2? 于是: ?zdx?xdy?ydz=?0L 另证：由斯托克斯公式得
3332??8sintdt??02?cos4tdt =
34?
?Lzdx?xdy?ydz=??(3y?223332?0)dydz?(3z2?0)dxdz?(3x2?0)dxdy
?:z?2,x?y?1上侧，则：
2?01?zdx?xdy?ydz?3L2333??x?y?12xdxdy?3?2d??0rcos?dr?3234? ＃
13. 设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I 解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy??(x,y)0?y?1?x,0?x?1?
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I=??dS=??SDxy3dxdy＝?dx011?x?03dy＝?13(1?x)dx?320 ＃
14. 计算曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dyLx2?y2其中L是沿着圆(x?1)2?(y?1)2?1 从点
A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设P(x,y)?xx?y2?y?P?y2， Q(x,y)?x?Q?xy2x?y2?y2
当x2?y2?0时，
???x22?2xy2(x?y)2
故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：?(x?y)dx?(x?y)dyLx2?y2=??(x?y)dx?(x?y)dyx2AB?y122
=?(02x?1x22)dx =ln5-arctan2 ＃
??1?1?15. 确定?的值，使曲线积分??x?4xyC?dx??6xy?2y?dy在XoY平面上与路径无
2关。当起点为?0,0?，终点为?3,1?时，求此曲线积分的值。 解：由已知，P?x?4xy,Q?6x?P?y?3,1?0,0?2???1y2?2y；
由条件得
??Q?x , 即 4?xy??1?6???1?x??2,??3,
???x?4xy23?1322223?dx?6xy?2ydy?????x?y?2xy??3??3,1??0,0??26 ＃
16. 设曲面S为球面x?y?z?4被平面z=1截出的顶部，计算I=??S2221zdS
解：S的方程为：z?4?x2?y2
22S在xoy平面的投影区域为：Dxy??(x,y)x?y?3?
I=??Dxy24?x2?ydxdy＝?22?d?30?2r4?r20dr ＝4?ln2 ＃
17. 计算I=??yzdydz?xzdzdx?(x?y?z)dxdy，其中?是x2?y2?(z?a)2?a2，
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0?z?a，取下侧
解：作辅助曲面?1: z=a，(x2?y2?a2)取上侧
2222设?为x?y?(z?a)?a,z?a所围闭区域
Dxy为平面区域x2?y2?a2
I?(?????1???)yzdydz?xzdxdz?(x?y?z)dxdy
?1=???dxdydz????Dxy(x?y?a)dxdy=
23?a3?a??Dxydxdy (??(x?y)dxdy?0)
Dxy=?13?a ＃
?x?acost?y?bsint318.．L为上半椭圆圆周?，取顺时针方向，求?ydx?xdy.
L0y解：?ydx?xdy??[bsint?(?asint)?acost?(bcost)]dt
L?0
??ab?dt?
A 0Bx ＃ 19．计算曲面积分?ab?.???其中?为锥面z?xdydz?ydzdx?(z?2z)dxdy，
2x?y22与z?1所围的整个曲面的外侧。
解：
由高斯公式，可得
I????(1?1?2z?2)dv??2??2???zdv
?2??d?.10??d?1
0??zdz?2 ＃ 20．计算曲线积分I??(y?e)dx?(3x?e)dy，其中L是椭圆
Lxyxa22?yb22?1的正向。
解：令P?y?e, Q?3x?e, 则
xy?Q?x??P?y?2。
设L所围成的闭区域为D，则其面积???ab。
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从而由格林公式可得
I??(y?e)dx?(3x?e)dy?Lxy??2dxdyD?2??dxdy?2?ab. ＃
D 21．设?为柱面x?z?a在使得x?0，y?0的两个卦限内被平面y?0及y?h所截下部分的外侧，试计算I?222??xyzdxdy。
?解：将?分成?1与?2，其中?1：z?，?2：z??a?x（取上侧），故
22，a?x（取下侧）22?1与?2在xoy面上的投影为Dxy:0?x?a,0?y?h??xyzdxdy????xyzdxdy???xyzdxdy?1?2???Dxyxya?xdxdy?22??Dxyxy(?a0a?x)dxdyh022
a?x?ydy22?2??xyDxya?xdxdy?2?dx?x22?13ah.32 ＃
22．计算曲面积分I????zdS，其中?是柱面x?y222?4介于0?z?6的部分。
解：设?1为?在第一卦限的部分曲面。?1:x?24?y,2?x?y??y4?y2,?x?z?0，得
dS???x???x?1??????dydz??y?z????22dydz4?y2。?1在yoz面上的投影域为
Dyz:0?y?2,0?z?6。
故
???zdS?4??zdS?4???1Dyz222z2224?ydydz?8?14?y20dy?zdz?288?. ＃
06223. 计算曲面积分I????(z?x)dydz?zdxdy，其中?是旋转抛物面z?212(x?y)介于
22z?0及z?2之间部分的下侧。
解：利用高斯公式，取?1:z?2且x?y?4。取上侧，?与?1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为?，?1对应的Dxy为：x?y?4。
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??(z?2?x)dydz?zdxdy??????1(z?x)dydz?zdxdy?2??(z?12?x)dydz?zdxdy????(1?1)dv???2dxdy??1
?2???dv??2???2dxdyDxy220
2?2?d?0?dr?12r2rdz?2???2?8??8??0. ＃ 24．计算曲线积分I??2?C?y?x?dx??y?x?dyx?y22，其中C是自点A??2,1?沿曲线
y??cosx到点B?2,1?的曲线段。
y?xx?y22解：P?x?yx?y22,Q?,?P?y?x?2xy?y22?x2?y2?2??Q?x,?x?y22?0?,
22取小圆周C?:x?y??,?充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得:
?2I?1?2?C?(y?x)dx?(y?x)dy??1?x1?x?22dx??2??2arctan2 ＃
25．用高斯公式计算
????x?y?dxdy?y?z?xdydz，其中?:柱面x?y?1及平面
22z?0,z?3围成封闭曲面的外侧。
解： P??y?z?x,Q?0,R?x?y
?P?x?Q?R?0,??y?z
?y?z,0
原式=????y?z?dv??????rsin??30?z?rdrd?dz
=? =?2?0d?1??0rdr??rsin??z?dz
2?0d?109??23sin??r?dr r?2?? =?2?09?9??sin??d?? = ??4?2? 专业知识分享
曲线积分和曲面积分期末复习试题高等数学(下册)(上海电机学院)
