高中数学选修2-1学案
uuuruuuuurD．AB与B'A'
uuuruuuur2．在正方体ABCD－A1 B1C1D1中，棱长为1，则AC?AD1等于( )．
A．0 B．1 C． D．－1
3．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )．
uuuruuuuruuuruuuurA．2BA?AC B．2AD?BD
uuuruuuruuuruuurC．2FG?CA D．2EF?CB
A1M与DN所成的角的大小是__________．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线
5．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1
6
高中数学选修2-1学案
＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为__________．
7
高中数学选修2-1学案
——★ 参 考 答 案 ★——
课前·预习导学 预习导引
π
1．∠AOB 〈a，b〉 [0，π] a⊥b
2π2ππ
预习交流1 (1)提示： 332
(2)提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉 ＝〈a，b〉．
2．(1)|a||b|cos〈a，b〉 (2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c (3)①a·b＝0 ②|a||b| －|a||b| |a|2a·a ③
a·b
④|a||b| |a||b|
预习交流2 提示：数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 课堂·合作探究 问题导学
活动与探究1 思路分析：求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算．
uuuruuur1uuuruuur解：(1)EF·BA＝2BD·BA
ruuuruuuruuur1uuu＝|BD||BA|cos〈BD，BA〉 2
11＝×1×1×cos 60°＝， 24
uuuruuur1
BA＝4． 所以EF·
uuuruuur1uuuruuurBD＝2BD·BD (2)EF·
ruuuruuuruuur1uuu＝|BD||BD|cos〈BD，BD〉 2
11＝×1×1×cos 0°＝， 22
8
高中数学选修2-1学案
uuuruuur1所以EF·BD＝2．
r1uuuruuuruuuruuuDC＝2BD·DC (3)EF·
rrruuuuuuruuu1uuu＝|BD||DC|cos〈BD，DC〉 2
11＝×1×1×cos 120°＝－， 24
ruuuruuu1
DC＝－4． 所以EF·
迁移与应用 33
1．[答案]－
2
uuuruuuruuuruuuruuuruuur33
CA＝|BC||CA|·[解析]BC·cos〈BC，CA〉＝3×1×cos150°＝－．
2
uuuruuuruuur2．解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝a·c＝b·c＝0．
uuuruuuur?1(c－a)＋b?＝|b|2＝16． (1)BC·ED1＝b·?2?
uuuruuur122c－a＋b?·(2)BF·AB1＝?2?(a＋c)＝|c|－|a|＝0． ?
ur1uuuruuu1?1(c－a)＋b?·b＋a? (3)EF·FC1＝?2??2?2?
1?1b＋a? ＝(－a＋b＋c)·?2?211
＝－|a|2＋|b|2＝2．
24
活动与探究2 思路分析：求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义a·b＝|a||b|cos〈a，a·bb〉，求出cos〈a，b〉＝的值，然后确定〈a，b〉的大小．
|a||b|
uuuuruuuuruuuuruuur解：方法一：因为AD1＝BC1，所以∠D1AC即为向量BC1与AC的夹角．
又因为△D1AC为正三角形，所以∠D1AC＝60°，
uuuuruuur即〈BC1，AC〉＝60°．
ruuuuruuu所以向量BC1与AC的夹角为60°．
方法二：设正方体的棱长为1，
uuuuruuuuruuuruuuruuurruuu则BC1·AC＝(BC＋CC1)·(AB＋BC)
9
高中数学选修2-1学案
ruuuuuuruuuruuur＝(AD＋AA1)·(AB＋AD)
ruuuruuuruuuuuuruuuruuuuruuur2＝AD·AB＋AD＋AA1·AB＋AA1·AD
uuuuruuuur22＝0＋AD＋0＋0＝AD＝1．
uuuruuuur又|BC1|＝2，|AC|＝2，
uuuuruuuruuuuruuurBC1?AC11
所以cos〈BC1，AC〉＝uuu＝． uruuur＝
2×22BC1ACruuuuruuu因为〈BC1，AC〉∈[0°，180°]，
ruuuuruuu所以〈BC1，AC〉＝60°，
uuuuruuur所以向量BC1与AC的夹角为60°．
迁移与应用 1．[答案]D
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurBC＝OA·OB＝|OA||OC|cos〈OA，OC〉OC－OA·[解析]OA·(OC－OB)＝OA·
uuuruuuruuuruuur－|OA|·|OB|·cos〈OA，OB〉．
uuuruuuruuuruuurruuurπuuu∵〈OA，OC〉＝〈OA，OB〉＝，|OB|＝|OC|，
3uuuruuurBC＝0， ∴OA·uuuruuur∴OA⊥BC，
uuuruuur∴cos〈OA，BC〉＝0．
uuuruuuruuur2．解：因为BC＝AC－AB，
uuuruuuruuuruuuruuuruuurBC＝OA·AC－OA·AB 所以OA·uuuruuuruuuruuuruuuruuuuuuruuurrOAOAOAOAACAC＝||||cos〈，〉－|||AB|cos〈，AB〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－162＋24．
uuuruuuruuuruuur24－1623－22OA?BC所以cos〈OA，BC〉＝＝＝，即OA与BC所成角的余弦值
8×55|OA||BC|3－22
为．
5
活动与探究3 思路分析：证明B1O⊥平面PAC，即证B1O⊥AC，B1O⊥AP，
ruuuruuuuuuruuur即证明B1O⊥AP，且B1O⊥AC．
uuuruuuruuur证明：连结BD，则BD过点O，令AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且
10
高中数学选修2-1优质学案8：3.1.3 空间向量的数量积运算
