之间的夹角余弦值,得到二面角的余弦值. 解法3:(1)同解法2
(2)设AA1?2a,利用三棱锥B1?BDC等体积转化,得到B1到面BCD的距离,利用B1C与平面BCD所成的角为30?得到B1C与d的关系,解出a,在两个平面分别找出DF,EF垂直于交线,得到二面角,求出其余弦值. 【详解】解法1:
(1)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A?xyz.
设AB?1,AD?a,则B?1,0,0?,C?0,1,0?,B1?1,0,2a?, D?0,0,a?,B1?1,0,2a?,
?11??11?E?,,a?,DE??,,0?,BC???1,1,0?,B1C???1,1,?2a?. ?22??22?因为DE?BC?0,DE?BC, 1?0所以DE?BC,DE?B1C,BC?面BCC1B1,B1C?面BCC1B1,BC?B1C?B 于是DE?平面BCC1B1.
(2)设平面BCD的法向量n??x0,y0,z0?, 则n?BC?0,n?BD?0,
又BC???1,1,0?,BD???1,0,a?,
??x0?y0?01??n?1,1,x?1故?,取0,得??.
a?x?az?0??0?0
因为B1C与平面BCD所成的角为30?,B1C???1,1,?2a?,
所以cosn,B1C?sin30?,?n?B1Cn?B1C2? ?1??2?4a2?2?2?a????12,
解得a?2n?1,1,2,. 2??由(1)知平面BCB1的法向量AF???11?,,0?, 2?2?cosn,AF?n?AFn?AF?12?12+11?22?2?2?1??1????+???2??2?22=22 ,
所以二面角D?BC?B1的余弦值为解法2:
2. 2(1)取BC中点F,连接AF、EF,
AB?AC ? AF?BC,
BB1?平面ABC,AF?平面ABC
? BB1?AF,
而BC?平面BCC1B1,B1B?平面BCC1B1,BC?B1B?B
? AF?平面BCC1B1.
E为B1C中点,? EFBB1,EF?? EFDA,EF=DA,
1BB1, 2?四边形ADEF为平行四边形, ? AFDE.
? DE?平面BCC1B1.
(2)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A?xyz.
设B?1,0,0?,C?0,1,0?,B1?1,0,2a?,则D?0,0,a?,B1?1,0,2a?,F?设平面BCD的法向量n??x0,y0,z0?, 则n?BC?0,n?BD?0,
又BC???1,1,0?,BD???1,0,a?,
?11?,,0?. 2?2???x0?y0?0故?,
?x?az?00?0取x0?1,得n??1,1,??1??. a?因为B1C与平面BCD所成的角为30?,B1C???1,1,?2a?,
所以|cos?n,BC|sin30?,?1)??n?B1Cn?B1C2? ?1??2?4a2?2?2?a????12,
解得a?2n?1,1,2,. 2?11?,,0?, 2?2???由(1)知平面BCB1的法向量AF??cosn,AF?n?AFn?AF?12?12+11?22?2?2?1??1????+???2??2?22=22
所以二面角D?BC?B1的余弦值为解法3: (1)同解法2.
2. 2(2)设AB?AC?1,AA1?2a,则BC?2,AF?2,BD?DC?1?a2, 2?DF?AD2?AF2?a2?1 2?1BB1?BC?2a, 2?SBDC12a2?1S,?BC?DF?22BCB1D到平面BCB1距离DE?由VB1?BDC?VD?BCB1
2,设B1到面BCD距离为d, 21得S31?DE?SBCB1321212a?1?d,即?2a????d BDC3232d?2a2a?12.
因为B1C与平面BCD所成的角为30?, 所以B1C?d2a?2d?2,
sin30?2a2?1而在直角三角形B1BC中B1C?2所以4a?2?2BB12?BC2?4a2?2,
2a2a2?1,
解得a?2. 2因为AF?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,所以AF?BC,
EF?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1所以EF?BC,所以BC?平面DEFA, DF?平面DBC,EF?平面B1BC
所以?EFD为二面角D?BC?B1的平面角, 而DA?AF?2,可得四边形DAFE是正方形,所以?EFD?45?, 22. 2所以二面角D?BC?B1的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的证明,利用几何关系构造方程求出边的大小,利用空间向量证明线面垂直,求二面角的大小,属于中档题.
20.设P,Q是曲线C:x?2py?p?0?上两点,P,Q两点的横坐标之和为4,直线PQ的斜
2率为2.
(1)求曲线C的方程;
(2)设M是曲线C上一点,曲线C在M点处的切线与直线PQ平行,且PM·QM??25,试求三角形MPQ的面积.
2【答案】(1)x?2y;(2)S?MPQ?510. 【解析】 【分析】
(1)由题意设出直线PQ方程,并设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得p,即可得曲线C的方程;
(2)将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得x1?x2,x1x2.结合直线方程可表示出y1?y2,y1y2.利用平面向量数量积定义,表示出PMQM.根据PMQM??25即可得b.所以可得直线PQ方程.结合弦长公式即可
四川省棠湖中学2020届高三下学期第二次月考数学(理)试题 Word版含解析
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