之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值. 解法3：（1）同解法2
（2）设AA1?2a，利用三棱锥B1?BDC等体积转化，得到B1到面BCD的距离，利用B1C与平面BCD所成的角为30?得到B1C与d的关系，解出a，在两个平面分别找出DF,EF垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值. 【详解】解法1：
（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A?xyz．
设AB?1，AD?a，则B?1,0,0?，C?0,1,0?，B1?1,0,2a?， D?0,0,a?，B1?1,0,2a?，
?11??11?E?,,a?，DE??,,0?，BC???1,1,0?，B1C???1,1,?2a?． ?22??22?因为DE?BC?0，DE?BC， 1?0所以DE?BC，DE?B1C，BC?面BCC1B1，B1C?面BCC1B1，BC?B1C?B 于是DE?平面BCC1B1．
（2）设平面BCD的法向量n??x0,y0,z0?， 则n?BC?0，n?BD?0，
又BC???1,1,0?，BD???1,0,a?，
??x0?y0?01??n?1,1,x?1故?，取0，得??．
a?x?az?0??0?0
因为B1C与平面BCD所成的角为30?，B1C???1,1,?2a?，
所以cosn,B1C?sin30?，?n?B1Cn?B1C2? ?1??2?4a2?2?2?a????12，
解得a?2n?1,1,2，． 2??由（1）知平面BCB1的法向量AF???11?,,0?， 2?2?cosn,AF?n?AFn?AF?12?12+11?22?2?2?1??1????+???2??2?22=22 ，
所以二面角D?BC?B1的余弦值为解法2：
2． 2（1）取BC中点F，连接AF、EF,
AB?AC ? AF?BC，
BB1?平面ABC，AF?平面ABC
? BB1?AF，
而BC?平面BCC1B1,B1B?平面BCC1B1,BC?B1B?B
? AF?平面BCC1B1．
E为B1C中点，? EFBB1，EF?? EFDA，EF＝DA，
1BB1， 2?四边形ADEF为平行四边形， ? AFDE．
? DE?平面BCC1B1．
（2）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A?xyz．
设B?1,0,0?，C?0,1,0?，B1?1,0,2a?，则D?0,0,a?，B1?1,0,2a?，F?设平面BCD的法向量n??x0,y0,z0?， 则n?BC?0，n?BD?0，
又BC???1,1,0?，BD???1,0,a?，
?11?,,0?． 2?2???x0?y0?0故?，
?x?az?00?0取x0?1，得n??1,1,??1??． a?因为B1C与平面BCD所成的角为30?，B1C???1,1,?2a?，
所以|cos?n,BC|sin30?，?1)??n?B1Cn?B1C2? ?1??2?4a2?2?2?a????12，
解得a?2n?1,1,2，． 2?11?,,0?， 2?2???由（1）知平面BCB1的法向量AF??cosn,AF?n?AFn?AF?12?12+11?22?2?2?1??1????+???2??2?22=22
所以二面角D?BC?B1的余弦值为解法3： （1）同解法2．
2． 2（2）设AB?AC?1，AA1?2a，则BC?2，AF?2,BD?DC?1?a2， 2?DF?AD2?AF2?a2?1 2?1BB1?BC?2a， 2?SBDC12a2?1S，?BC?DF?22BCB1D到平面BCB1距离DE?由VB1?BDC?VD?BCB1
2，设B1到面BCD距离为d， 21得S31?DE?SBCB1321212a?1?d，即?2a????d BDC3232d?2a2a?12．
因为B1C与平面BCD所成的角为30?， 所以B1C?d2a?2d?2，
sin30?2a2?1而在直角三角形B1BC中B1C?2所以4a?2?2BB12?BC2?4a2?2，
2a2a2?1，
解得a?2． 2因为AF?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1,所以AF?BC，
EF?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1所以EF?BC，所以BC?平面DEFA， DF?平面DBC,EF?平面B1BC
所以?EFD为二面角D?BC?B1的平面角， 而DA?AF?2,可得四边形DAFE是正方形，所以?EFD?45?， 22． 2所以二面角D?BC?B1的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.
20.设P,Q是曲线C:x?2py?p?0?上两点，P,Q两点的横坐标之和为4，直线PQ的斜
2率为2.
（1）求曲线C的方程；
（2）设M是曲线C上一点，曲线C在M点处的切线与直线PQ平行，且PM·QM??25，试求三角形MPQ的面积.
2【答案】（1）x?2y；（2）S?MPQ?510. 【解析】 【分析】
（1）由题意设出直线PQ方程,并设P?x1,y1?,Q?x2,y2?.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得p,即可得曲线C的方程;
（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得x1?x2,x1x2.结合直线方程可表示出y1?y2,y1y2.利用平面向量数量积定义,表示出PMQM.根据PMQM??25即可得b.所以可得直线PQ方程.结合弦长公式即可
四川省棠湖中学2020届高三下学期第二次月考数学(理)试题 Word版含解析
