第三讲 简单的线性规划
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测 知识梳理
知识点一 二元一次不等式表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__>0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C __<0__．
(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成__实线__．
知识点二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含__等号__，则应把直线画成虚线；若不等式含有__等号__，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点，
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__．
知识点三 线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量x，y组成的__不等式(组)__ 由x，y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等 关于x，y的__一次__解析式 满足约束条件的解__(x，y)__ 所有可行解组成的__集合__ 使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题 重要结论
1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论
把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定存在，存在时不一定唯一． 双基自测 题组一 走出误区 1．(多选题)下列命题正确的是( BC ) A．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方 B．点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2 ＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0 C．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 D．目标函数z＝ax＋by(a≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距 题组二 走进教材 ??x－3y＋6<0， 2．(必修五P86T3改编)不等式组?表示的平面区域是( C ) ?x－y＋2≥0? [解析] x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分． 故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分． y≤x，?? 3．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件?x＋y≤1， ??y≥－1，大值、最小值分别是( C ) A．3，－3 C．4，－2 B．2，－4 D．4，－4 则z＝2x＋y＋1的最 [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示． A(2，－1)，B(－1，－1)， 显然当直线l：z＝2x＋y＋1经过A时z取得最大值，且zmax＝4， 当直线l过点B时，z取得最小值，且zmin＝－2，故选C． 题组三 考题再现 x－y≥0，?? 4．(2024·浙江，12)若x，y满足约束条件?2x＋y≤6， ??x＋y≥2，最大值是__8__． [解析] 本小题考查简单的线性规划．由约束条件得可行域是以A(1,1)，B(2,2)，C(4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图． 则z＝x＋3y的最小值是__－2__， 1z 当直线y＝－x＋过点C(4，－2)时，z＝x＋3y取得最小值－2，过点B(2,2)时，z＝x＋3y 33取得最大值8． x≤2，?? 5．(2024·北京)若x，y满足?y≥－1， ??4x－3y＋1≥0， 则y－x的最小值为__－3__，最大值为__1__． [解析] 由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC及其内部．易知A(－1，－1)，B(2，－1)，C(2,3)． 设z＝y－x，平移直线y－x＝0，当直线过点C时，zmax＝3－2＝1， 当直线过点B时，zmin＝－1－2＝－3． KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域——自主练透 ??|x|≤|y|， 例1 (1)(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组?的点 ?|x|<1? (x，y)的集合用阴影表示为下列图中的( C ) x＋y－3≤0?? (2)(2024·四川江油中学月考)已知实数x，y满足线性约束条件?x－2y－3≤0， ??0≤x≤4的平面区域的面积为( D ) 9 A． 4C．9 27B． 227D． 4 则其表示 (3)(2024·河南郑州重点高中期中联考)若直线l：y＝kx－2k＋1将不等式组x－2≤0?? ?y－1≤0??x＋2y－2≥0 ，表示平面区域的面积分为1∶2两部分，则实数k的值为( A ) 1 A．1或 412C．或 33 13B．或 4411D．或 43 [解析] (1)|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|<1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C． 3 (2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0,3)，B(0，－)，C(3,0)， 2 11927∴S＝|AB|·|OC|＝××3＝，故选D． 2224x－2≤0 ?? (3)不等式组?y－1≤0 ??x＋2y－2≥0 表示的平面区域如图所示： ∵直线l：y＝kx－2k＋1恒过A(2,1)， 可得：当直线l：y＝kx－2k＋1过BC的三等分点 2241 E(，)或D(，)时， 3333 21 1－1－313 故kAE＝＝，kAD＝＝1，故选A． 2442－2－33名师点拨 ? (1)画平面区域的步骤： ①画线：画出不等式所对应的方程表示的直线． ②定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)． ③求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．
2024版新高考数学一轮复习讲义：第六章第三讲 简单的线性规划 (含解析)
