二、 三、
如果AB?2,求GH的长； 求证：CG?CD
【练习题答案】
1．6cm． 2．36． 3．4
2
202
cm（面积法）． 274.证明：FN=EC。
证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中， AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90° ∵AB=2BC ∴EN=BC
∴△FEN≌△EBC ∴FN=EC。 5.略
6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.
一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.
3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=
1BE 27.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种 8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形 9.（1)略（2）
4（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG 5
知识结构
（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征：
边：两组对边分别平行；四条边都相等；
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
（3）主要识别方法：
1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。
例1. 已知：如图，P是正方形ABCD内点，
求证：?PBC是正三角形．
【证明】：如下图做△DGC使与△ADP全等，
可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角
形
例2. 如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
E 【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。
可得PQ=
?PAD??PDA?15?．
A
P
D
B
D G C P A Q B C
EG+FH。 2F
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI， 由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=
ABAI+BI= ，
22从而得证。
例4. 如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE?AC，AE与CD相交于F． 求证：CE?CF．
【证明】：顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。
D A
F E
B C
例6. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF?AP，CF?DCE．
求证：PA?PF．
【证明】：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=
平分
XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。
A D
F
B P C E
例7. 已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA?PB?PC的最小A 值．
【证明】：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得
AF=
P D B C 13+(+1)242 =
2+3= 4+23 2(3+1)22 = (3+1) 22 =
=
6+2 。 2例8. P为正方形ABCD内的一点，并且PA?a，PB?2a，PC?3a，求正方形的边长．
【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： A P D
既得正方形边长L = (2+222)+()2ga = 225+22ga 。
B C
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则?EAB=________．
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，?AEF?90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：?BAE??FEC； （2）证明：?AGE??ECF； （3）求?AEF的面积．
?
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(有答案)
