问题1：如何求12与20的最大公约数？ 提示：短除法．一般情况下数字不应过大．
问题2：若求6 750与3 492的最大公约数，上述方法还奏效吗？ 提示：数值很大时短除法不方便用．
问题3：对于问题1中12与20的最大公约数是4.若用20除以12余8，再用8去除12余4，再用4去除8余数为0，也可求得最大公约数为4.若对较大两数可否用此法求公约数？
提示：可以．
1．孙子问题
(1)问题名称：人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．
m＝3x＋2??
(2)问题思想：“孙子问题”相当于求关于x，y，z的不定方程组?m＝5y＋3的正整数解.
??m＝7z＋22．欧几里得辗转相除法
(1)含义：公元前3世纪，欧几里得在《原本》第七篇中介绍了求两个正整数a，b(a＞b)的最大公约数的方法，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”．
(2)步骤：计算出a÷b的余数r，若r＝0，则b即为a，b的最大公约数；若r≠0，则把前面的除数b作为新的被除数，把余数r作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a，b的最大公约数．
3．两个常用函数
(1)Mod(a，b)表示a除以b所得的余数． (2)Int(x)表示不超过x的最大整数．
1．由除法和减法的性质可知，对于任意两个正整数，辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后完成，故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大公约数．
2．辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r?r＝a－nb得a、b与b、r有相同的公约数．
[例1] 有3个连续的正整数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图，并写出伪代码．
[思路点拨] 设这三个数分别为m，m＋1，m＋2，则m满足的条件是Mod(m,15)＝0且Mod(m＋1,17)＝0且Mod(m＋2,19)＝0.
[精解详析] 流程图：
伪代码：
m←2
While Mod(m,15)≠0 or
Mod(m＋1,17)≠0 or Mod(m＋2,19)≠0
m←m＋1
End While
Print m，m＋1，m＋2 [一点通]
解决此类问题的方法就是从m＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m满足所有已知条件时，结束循环，输出m.
1．如图所示的流程图，输出的结果是________．
解析：m＝10时，不满足条件，则m←10＋7.
m＝17时，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，
故输出17. 答案：17
2．下面一段伪代码的功能是________．
m←2
While Mod(m,2)≠1 or
Mod(m,3)≠2 or Mod(m,5)≠3
m←m＋1
End While Print m 解析：由代码含义可知，m满足的条件是除以2余1，除以3余2，除以5余3，又m逐个增大，故输出的m是满足条件的最小正整数．
m＝2x＋1??
答案：求关于x、y、z的不定方程组?m＝3y＋2
??m＝5z＋3
的最小正整数解
[例2] 设计用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码． [思路点拨] 按照辗转相除法的步骤设计算法、画流程图，根据流程图，写出伪代码． [精解详析] 算法如下 S1 a←8 251； S2 b←6 105；
S3 如果Mod(a，b)≠0，那么转S4，否则转S7；
S4 r←Mod(a，b)； S5 a←b； S6 b←r，转S3； S7 输出b. 流程图与伪代码：
错误!
[一点通] 辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数．
3．下图表示的流程图，输出的结果是________．
解析：第一次执行循环体：r＝34，a＝119，b＝34，第二次执行循环体r＝17，a＝34，b＝17. 第三次执行循环体r＝0，输出b＝17. 答案：17
4．求三个数168,56,264的最大公约数． 解： 先求168与56的最大公约数． ∵168＝56×3，
故168与56的最大公约数是56. 再求56与264的最大公约数． ∵264＝56×4＋40， 56＝40×1＋16， 40＝16×2＋8， 16＝8×2.
故56与264的最大公约数是8. 因此168,56,264的最大公约数是8.
[例3] (12分)设计用二分法求方程x－2＝0在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.005)的流程图，写出伪代码．
[思路点拨] 根据二分法求方程近似解的步骤画出流程图，然后根据流程图写出算法伪代码． [精解详析] 流程图如图：
3
伪代码如下：
(6分)
2024-2024学年高中数学苏教版必修三教学案：第1章 1.4 算法案例 Word版含答案
