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第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝核心素养1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象素养.2.通过周期性和奇偶性的学习，提升学生的直观想象素养.Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y＝sinx和y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数周期最小正周期奇偶性y＝sinx2kπ(k∈Z且k≠0)2π奇函数y＝cosx2kπ(k∈Z且k≠0)2π偶函数思考：函数y＝|sinx|，y＝|cosx|是周期函数吗？[提示]是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.1．下列函数中，周期为A．y＝sinC．y＝cosDπ的是(2)B．y＝sin2xD．y＝cos4xx2x4[根据公式T＝2ππ2π可知＝，得ω＝4，故应选D.]ω2ω-1-精品文档，名师推荐！
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π2x＋2是(2．函数y＝2sinA．周期为π的奇函数C．周期为2π的奇函数B)B．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数π2x＋2＝2cos2x，它是周期为π的偶函数．][y＝2sin.3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝6[由已知得f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]三角函数的周期问题及简单应用【例1】(1)y＝sin求下列函数的周期：2x＋π4；(2)y＝|sinx|.思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．(2)作函数图象，观察出周期．[解]＝sin(1)法一：(定义法)y＝sin2x＋π＋2π24＝sin2x＋π4π4，x＋π＋所以周期为π.法二：(公式法)y＝sin(2)作图如下：2x＋π2π2π4中ω＝2，T＝＝＝π.ω2观察图象可知周期为π.1．本例(2)中函数变成“y＝|cosx|”，图象如何？[解]作图如下：-2-精品文档，名师推荐！
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观察图象可知周期是π.2．本例(2)中函数变成y＝sin|x|或y＝cos|x|，图象如何？[解]作图如下：由图象可知y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|的图象与y＝cosx图象相同，仍为周期函数，周期为2π.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，2πω≠0)的函数，T＝.|ω|(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．π提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.|ω|[跟进训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos2x，x∈R；1πx－4，x∈R.(2)y＝sin3[解](1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.1(2)因为sin3πx＋6π－41π1π1πx＋2π－x－x－4＝sin34，4的周期为6π.＝sin3由周期函数的定义知，y＝sin3三角函数奇偶性的判断-3-精品文档，名师推荐！
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【例2】(1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为．(2)判断下列函数的奇偶性：1π－x＋2；①f(x)＝sin2②f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；1＋sinx－cosx③f(x)＝.1＋sinx思路点拨：(1)结合y＝cosωx为偶函数→利用诱导公式→φ＝(2)π＋kπ22
k∈Zπφ＝kπ＋，k∈Z2(1)φ|
[因为y＝cosωx为偶函数，y＝sinωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cosx或y＝－π2cosx，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．]2(2)[解]1①显然x∈R，f(x)＝cosx，21－x1∵f(－x)＝cos2＝cosx＝f(x)，2∴f(x)是偶函数．②由1－sinx＞0，1＋sinx＞0，得－1＜sinx＜1，πx∈R且x≠kπ＋，k∈Z2解得定义域为x∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，|
，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，-4-精品文档，名师推荐！
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∴f(x)为奇函数．③∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，π∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.2∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性：3π＋2x2
(1)f(x)＝cos2＋xsinx；(2)f(x)＝1－2cosx＋2cosx－1.[解](1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，2
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)sin(－x)＝－sin2x－xsinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由1－2cosx≥0，2cosx－1≥0，1得cosx＝，2π，k∈Z，32
∴f(x)＝0，x＝2kπ±∴f(x)既是奇函数又是偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[探究问题]1．一般通过什么方法研究三角函数的性质？提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象．2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2024)的值是多少？-5-
正弦函数余弦函数的性质第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修 - 图文
