1 . (1) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题) 设 表示不小于x的最小整数，如 ， ，
， 则下列7个结论中，不成立的结论 ( ) ① ②
③ 只有x为整数才成立；④ ； ⑤ ⑥ ⑦
A.不超过3个 B.恰为4个 C.刚好为5个 D.至少有6个
分析：易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令 便知⑥，⑦不成立. 详解：A
2. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
关于x的含有绝对值的方程 的不同实数解共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分析：
若
，则方程为 ， ；
若 ，则方程为 ， ，不合题意；
若 ，则方程为1 2x+x = 2. ， 故题设方程的不同实数解共有2个. 详解： B
技巧：分别讨论绝对值的正负性，看结果是否符合题意. 易错点：如果出现不合题意的结果，应该排除掉.
3. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
方程组 的解的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：若 ，则
，于是 ，显然不可能；
若 ，则
，于是 ，解得 ，
进而求得 .所以原方程组的解为
，只有1个解.
） ）
（（详解：A
4. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
方程组 的解共有________ 组.
分析：令 ， ，则 ，解得 ，
于是 ， ， ， ， ， ， ， 或 ， 详解：4
技巧：我们可以使用换元法，使题目更加简洁明了. 易错点：讨论结果时，不要遗漏任何解.
5. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
设x，y都是正整数，且 ，则y的最大值为________ . 分析：假设 ， （m，n为正整数），所以 .即 ，显然 ， 与n-m只能同时为偶数，故n+m 的最大值为108. 详解：108
技巧：已知原式为a+b的形式，我们利用平方差公式，逆向思考可以化简原式，简单解题,.
6. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题) 满足方程 的所有x的和为________ .
分析：因为 ＞0 ，所以 ； 由 得： ①
因为 ＞ ，所以由①得 即 ②
由②得 或 ，即原方程有两个解， 所有解的和是（ 详解：4012
技巧：根据绝对值的意义，先化简，再解题. 易错点：需要排除不符合题意的结果.
7. (3、4) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
求方程组 的整数解.
分析：我们观察，方程组的两个等式左右两边先平方再相加，会消去相同的项，化简再分别讨论.
详解：（ ） （ ） ，化简合并同类项得：
故 或 .
①当 时， ，得 ， ， ， ； ② 当 时， ， 得 ， ， ，
经检验，满足方程的4组解为(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).
答：方程组 的整数解（ ， ， ， ）为：(1，0，3，1)，(-1，0，-3，
-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).
技巧：我们通过化简，合并同类项，再分情况讨论.
易错点：我们得到结果后，根据题意需代入原方程组验证，排除多余的解.
8. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题) 已知实数x，y满足 ，求x+y的值.
分析：原式是一个二元方程，但是只有一个等式，我们不妨先展开，移项，化简可以得到2个完全平方式，即可得解. 详解：将原等式展开移项,得： 分组可以化为两个完全平方式，得： ， 所以有：
解得 ， 因此 答：x+y的值为
技巧：我们把有规律项数的分组组成完全平方式，可简便解题.
9. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
有甲、乙两种卡通玩具昆虫，每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚，每个乙种玩具昆虫有3只眼睛，两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚，则每个乙种玩具昆虫有多少只脚？ 分析：我们把未知量都设成未知数，然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论，即可解题. 详解：设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有
① ②
由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…， 由②可知 ，即 所以 或5.
当 时， ，而8不能整除 ，不合题意，舍去； 当 时， ，而 ，所以 答：每个乙种玩具昆虫有14只脚.
技巧：根据题目中的未知数都是整数，来分析解题.
虫有14只脚.
（第18届五羊杯竞赛题）定义新运算△： Δ ，其中6为正整数.如果 Δ Δ ，则x的值为 A.1或
B.1或
0 D.1
6.（2007年“数学周报”杯全国数学竞赛题） 7.（1998年山东省竞赛题）方程 A. 1 B .2 C. 3 D. 4
8.（1999年重庆市竞赛题）某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元 和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，那么购买的方式共有，( ) A.20种 B.25种 C.29种 D.32种
9.（第21届江苏省初中数学竞赛题）图9 -1为某三岔路口交通环岛的简化模型.在 某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数 如图所示，图中 ， ， 分别表示该时段单位时间通 ， ， 的机动车辆数（假设单位时间内，在 过路段
上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相 等），则 ， ， 的大小关系为 ( ) 3 1
1 1
二、填空题
10. 11.（上海市竞赛题）12.（上海市竞赛题）已知方程 ，其中a为正整数，当 时，它的正整数解组数记为S3，当 时，它的正整数解组数记为S5，则S1993= 13.（2001年北京市竞赛题）若a，b都是正整数，且 ，则 ________ 14.（第3届杭州市求实杯竞赛题）有一个两位数 （十位数字是a，个位数字是b）， 其中的a和b满足关系式 （bbb表示三个数字都是b的3位数），这个两位数为________
15.（第17届希望杯竞赛题）某种球形病毒的直径为0.01纳米，每个病毒每过1分钟就能繁殖出9个与自己相同的病毒.假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不活，那么人从感染第
一个病毒后，经过________ 分钟，就会感到不适（1米 纳米）.
的实根的个数为 ( )
初中培优竞赛 第9讲 特殊方程与不定方程
