1 . (1) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题) 设 表示不小于x的最小整数,如 , ,
, 则下列7个结论中,不成立的结论 ( ) ① ②
③ 只有x为整数才成立;④ ; ⑤ ⑥ ⑦
A.不超过3个 B.恰为4个 C.刚好为5个 D.至少有6个
分析:易见①,②,③,④,⑤成立,但⑥,⑦不成立,其实令 便知⑥,⑦不成立. 详解:A
2. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
关于x的含有绝对值的方程 的不同实数解共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分析:
若
,则方程为 , ;
若 ,则方程为 , ,不合题意;
若 ,则方程为1 2x+x = 2. , 故题设方程的不同实数解共有2个. 详解: B
技巧:分别讨论绝对值的正负性,看结果是否符合题意. 易错点:如果出现不合题意的结果,应该排除掉.
3. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
方程组 的解的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析:若 ,则
,于是 ,显然不可能;
若 ,则
,于是 ,解得 ,
进而求得 .所以原方程组的解为
,只有1个解.
) )
((详解:A
4. (1、2) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
方程组 的解共有________ 组.
分析:令 , ,则 ,解得 ,
于是 , , , , , , , 或 , 详解:4
技巧:我们可以使用换元法,使题目更加简洁明了. 易错点:讨论结果时,不要遗漏任何解.
5. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
设x,y都是正整数,且 ,则y的最大值为________ . 分析:假设 , (m,n为正整数),所以 .即 ,显然 , 与n-m只能同时为偶数,故n+m 的最大值为108. 详解:108
技巧:已知原式为a+b的形式,我们利用平方差公式,逆向思考可以化简原式,简单解题,.
6. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、填空题) 满足方程 的所有x的和为________ .
分析:因为 >0 ,所以 ; 由 得: ①
因为 > ,所以由①得 即 ②
由②得 或 ,即原方程有两个解, 所有解的和是( 详解:4012
技巧:根据绝对值的意义,先化简,再解题. 易错点:需要排除不符合题意的结果.
7. (3、4) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
求方程组 的整数解.
分析:我们观察,方程组的两个等式左右两边先平方再相加,会消去相同的项,化简再分别讨论.
详解:( ) ( ) ,化简合并同类项得:
故 或 .
①当 时, ,得 , , , ; ② 当 时, , 得 , , ,
经检验,满足方程的4组解为(1,0,3,1),(-1,0,-3,-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0).
答:方程组 的整数解( , , , )为:(1,0,3,1),(-1,0,-3,
-1),(3,1,1,0),(-3,-1,-1,0).
技巧:我们通过化简,合并同类项,再分情况讨论.
易错点:我们得到结果后,根据题意需代入原方程组验证,排除多余的解.
8. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题) 已知实数x,y满足 ,求x+y的值.
分析:原式是一个二元方程,但是只有一个等式,我们不妨先展开,移项,化简可以得到2个完全平方式,即可得解. 详解:将原等式展开移项,得: 分组可以化为两个完全平方式,得: , 所以有:
解得 , 因此 答:x+y的值为
技巧:我们把有规律项数的分组组成完全平方式,可简便解题.
9. (2、3) (数学、初中竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
有甲、乙两种卡通玩具昆虫,每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚,每个乙种玩具昆虫有3只眼睛,两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚,则每个乙种玩具昆虫有多少只脚? 分析:我们把未知量都设成未知数,然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论,即可解题. 详解:设甲种昆虫有x只,乙种昆虫有y只,每只乙种昆虫有k只脚.依题意有
① ②
由①可知x是被3除余2的自然数,即x可取2,5,8,11,14,…, 由②可知 ,即 所以 或5.
当 时, ,而8不能整除 ,不合题意,舍去; 当 时, ,而 ,所以 答:每个乙种玩具昆虫有14只脚.
技巧:根据题目中的未知数都是整数,来分析解题.
虫有14只脚.
(第18届五羊杯竞赛题)定义新运算△: Δ ,其中6为正整数.如果 Δ Δ ,则x的值为 A.1或
B.1或
0 D.1
6.(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛题) 7.(1998年山东省竞赛题)方程 A. 1 B .2 C. 3 D. 4
8.(1999年重庆市竞赛题)某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元 和9元的光盘x张和y张,每种光盘至少买3张,那么购买的方式共有,( ) A.20种 B.25种 C.29种 D.32种
9.(第21届江苏省初中数学竞赛题)图9 -1为某三岔路口交通环岛的简化模型.在 某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数 如图所示,图中 , , 分别表示该时段单位时间通 , , 的机动车辆数(假设单位时间内,在 过路段
上述路段中,同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相 等),则 , , 的大小关系为 ( ) 3 1
1 1
二、填空题
10. 11.(上海市竞赛题)12.(上海市竞赛题)已知方程 ,其中a为正整数,当 时,它的正整数解组数记为S3,当 时,它的正整数解组数记为S5,则S1993= 13.(2001年北京市竞赛题)若a,b都是正整数,且 ,则 ________ 14.(第3届杭州市求实杯竞赛题)有一个两位数 (十位数字是a,个位数字是b), 其中的a和b满足关系式 (bbb表示三个数字都是b的3位数),这个两位数为________
15.(第17届希望杯竞赛题)某种球形病毒的直径为0.01纳米,每个病毒每过1分钟就能繁殖出9个与自己相同的病毒.假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不活,那么人从感染第
一个病毒后,经过________ 分钟,就会感到不适(1米 纳米).
的实根的个数为 ( )
初中培优竞赛 第9讲 特殊方程与不定方程
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