第2讲 两直线的位置关系
[基础题组练]
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 C．必要不充分条件
B．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥
l2”的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 C．3或5
B．1或5 D．1或2
解析：选C.法一：由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y3k－34－k1＝，显然两直线平行．当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.综上，k的值是22（k－3）－233或5.
法二：当k＝3时，两直线平行，故排除B，D；当k＝1时，两直线不平行，排除A. 3．(2020·安徽江南十校二联)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若
l1∥l2，则l1，l2之间的距离为( )
A.1213
13913
13
813B． 13D．13
C.
解析：选A.由于两条直线平行，所以m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故l1，l2之间的距离为
|6－（－6）|1213
＝.故选A. 22
132＋3
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(1，2)
C．(1，2)或(2，－1)
B．(2，1)
D．(2，1)或(－1，2)
|x－（5－3x）－1|
解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝＝2，化简得|4x－6|＝2，即22
1＋（－1）
4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0
B．2x－3y－12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
?x＋3＝0，?
??y－1＝0，
解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令?可得x＝－
3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对|－6＋3－6||－6＋3＋c|
称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c4＋94＋9＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
6．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________． 3
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的
2315
直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x24＋8y－15＝0.
答案：12x＋8y－15＝0
7．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB－1－111
＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，0－122即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝
4－21
＝，
3－（－1）2
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)． 即2x＋y－5＝0. 5
令y＝0，则x＝，
25
即P点的坐标为(，0)，
2
|AB|＝（－1－3）＋（2－4）＝25. 点P到AB的距离为|PM|＝
22
?1－5?＋32＝35. ?2?2??
2
113515
所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×25×＝.
222215
答案： 2
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)， 所以－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2， 所以直线l1的斜率存在． 所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 4
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
abb2
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以1
＝3，解得λ＝或λ＝2. 22
2（2＋λ）＋（1－2λ）
|10＋5λ－5|
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
??2x＋y－5＝0，(2)由?
?x－2y＝0，?
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝10.
[综合题组练]
1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) C．(2，4)
B．(－2，－4) D．(2，－4)
y－2
??x＋4×2＝－1，
解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则?解
y＋2－4＋x??2＝2×2，
??x＝4，－2－1
得?所以BC所在的直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点
4－3?y＝－2，?
B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在的直线方程为y－2＝
???3x＋y－10＝0，?x＝2，3－2
·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得?解得?则C(2，
－1－（－4）??x－3y＋10＝0，y＝4，??
4)．故选C.
2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) C．(34，＋∞)
B．(0，5] D．(0，34]
解析：选D.当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为（－1－2）＋[2－（－3）]＝34，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.
3．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，
22l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四
边形OMPN面积的最大值为( )
A．3 C．5
3B． 25D． 2
解析：选D.将直线l1的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0，
???x－1＝0?x＝1由?，得?，则直线l1过定点A(1，2)，同理可知，直线l2过定点A(1，2)， ?2－y＝0?y＝2??
所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1，2)，易知，直线l1⊥l2，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝1＋2＝5， 设|OM|＝a，|ON|＝b，则a＋b＝5， 四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤
2
2
2
2
a2＋b25
2
＝，
2
??a＝b10
当且仅当?2，即当a＝b＝时，等号成立， 2
2?a＋b＝5?
5
因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选D.
2
4.如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线
FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2，0)关于直线BC：
x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的
对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线
E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系练习理北师大版
