高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法
N表示自然数集,N?或N?表示正整数集,Q表示有理数集,Z表示整数集,
R表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?M,或者a?M,两者必居其一. (4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A?A 性质 示意图 A?B 子集 (或B?A) A中的任一元(2)??A 素都属于B (3)若A?B且B?C,则A(B)BA或 A?C 1
(4)若A?B且B?A,则A?B (1)??A(A为非空子A?B 真子集 ??A?B,且B集) BA(或B中至少有一(2)若A?B且B?C,则???A) 元素不属于A ?A中的任一元集合 相等 A?B A?C ?素都属于B,(1)A?B A(B)B中的任一元(2)B?A 素都属于A (7)已知集合A有n(n?1)个元素,则它有2n个子集,它有2n?1个真子集,它有
2n?1个非空子集,它有2n?2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集 名记意义 性质 (1)AIA?A (2)AI??? (3)AIB?A AB称 号 示意图 交集 AIB{x|x?A,且 x?B} AIB?B ⑷ Α?B?A∩B=A (1)AUA?A 并集 AUB{x|x?A,或 x?B} (2)AU??A (3)AUB?A AB 2
AUB?B ⑷A?B?A∪B=B ⑴ (?uA)∩A=?, ⑵ (?uA)∪A=U, ?uA {x|x?U,且x?A}⑶ ?u(?uA)=A, 集 ⑷ ?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB), 补⑸ ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) ⑼ 集合的运算律:
交换律:A?B?B?A;A?B?B?A.
结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 0-1律:?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U 等幂律:A?A?A,A?A?A.
求补律:A∩?uA=? A∪CuA=U ?uU=??u?=U 反演律:?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB) ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)
第二章函数
§1函数的概念及其表示 一、映射 1.映射:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 元
素,在集合B中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 . 2.象与原象:如果f:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的 叫做象, 叫做原象。 二、函数 1.定义:设A、B是 ,f:A→B是从A到B的一个映射,则映射f:A→B叫做A到B的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同
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时,二者才能称为同一函数。 3.函数的表示法有 、 、 。
§2函数的定义域和值域
一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域:
① 已知函数的解析式,就是 .
② 复合函数f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.
③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域:
1.函数y=f (x)中,与自变量x的值 的集合.
2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法)
例如:① 形如y=
12?x2,可采用 法;② y=
2x?12(x??)3x?23,可采用
法或 法;③ y=a[f (x)]2+bf (x)+c,可采用 法;④ y=x-
1?x,可采用 法;⑤ y=x-可采用 法等.
1?x2,可采用 法;⑥ y=
sinx2?cosx
§3函数的单调性
一、单调性
1.定义:如果函数y=f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、 4 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 . 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ . (2) 导数法,若函数y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则f (x)在这个区间上是增函数;②若 ,则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若f (x), g(x)均为增(减)函数,则f (x)+g(x) 函数; 2.若f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 ; 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; 4.复合函数y=f [g(x)]是定义在M上的函数,若f (x)与g(x)的单调相同,则f [g(x)]为 ,若f (x), g(x)的单调性相反,则f [g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . §4函数的奇偶性 1.奇偶性: ① 定义:如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ,则称f (x)为奇函数;若 ,则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质,则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质,则f (x) . ② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2.与函数周期有关的结论: ①已知条件中如果出现f(x?a)??f(x)、或f(x?a)f(x)?m(a、m均为非零常数,a?0),都可以得出f(x)的周期为 ; 5