专题01数列真题汇编与预赛典型例题
1．【2018年全国联赛】设整数数列
满足
.
，且
，则这样的数列的个数为
【答案】80 【解析】设
，①
.②
用t表示
中值为2的项数.由②知t也是
，则有
中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此
的取法数为.
取定后，任意指定
使得
的值，有22=4种方式.
为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1
.
最后由①知，应取的值，进而数列
唯一对应一个满足条件的数列
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80. 2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列
。则
【答案】13、20 【解析】 由条件，知反复运用数列
均为正整数，且的递推关系知，
。由于
，故
.
满足
,对任意正整数n,有
的所有可能值为___________。
。
而故注意到
，
，
①
则 ②
当时，式①②分别化为
无解。 当
时，式①②分别化为
得到唯一的正整数当
，此时
。
时，式①②分别化为：
，
得到唯一的正整数综上，
此时
的所有可能值为13、20。
故答案为：13、20
3．【2016年全国联赛】设
为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足
.则这样的有序数组
【答案】40 【解析】 由柯西不等式知
，
等号成立的充分必要条件为:
的个数为________.
，即成等比数列.
于是，问题等价于计算满足
的个数.
的等比数列
设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.
先考虑的情形.
此时，.
注意到，互素，故.相应地，分别等于
，它们均为正整数.这表明，对任意给定的， 满足条件并以q为公比的等
比数列的个数，即为满足不等
式的正整数l的个数，即.
由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为
.
当
时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列
.
综上，共有40个满足条件的有序数组
4．【2014年全国联赛】已知数列
满足
.则___________.
【答案】【解析】 由题意知
记数列
的前n项和为.则
.
上面两式相减得
故
.
5．【2013年全国联赛】已知数列则这样的数列的个数为______. 【答案】491 【解析】 令
共有九项，其中，，且对每个，均有.
.则对每个符合条件的数列，满足条件
，且.
反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.
记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定
时，故
的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，
.
因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.
6．【2011年全国联赛】已知【答案】15 【解析】
.则数列中整数项的个数为______.
注意到.
要使为整数，必有均为整数，即.
当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.
当时，，在中，中因数2的个数为
.
同理，可计算得故当从而，
中因数2的个数为82，中因数2的个数为110. .从而，
是整数.
中因数2的个数为时，
.同理，中因数2的个数小于10.
.
不是整数.因此，整数项的个数为
故答案为：15
7．【2010年全国联赛】已知
是公差不为0的等差数列，
，且存在常数
________.
【答案】【解析】 设
的公差为
的公比为.则
解得
.
是等比数列，其中，
.则
使得对每一个正整数都有
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 数列 真题汇编与预赛典型例题(解析版)
