所以f(x)?g(x).
【点睛】（1）本题考查了利用基本不等式证明不等式的问题，证明问题的关键是能够将所证不等式通过变形，构造出符合基本不等式的形式，属于基础题.
（2）本题考查利用导数比较大小和研究函数的性质，能否根据不等式的特点构造出合适的函数是解决本题的关键，是中档题.
17.若函数f(x)?1312x?ax?(a?1)x?1在区间?1,4?上为减函数，在区间?6,???上为32增函数，试求实数a的取值范围． 【答案】[5,7] 【解析】
试题分析：f'?x??x?ax?a?1，函数f?x?在区间?1,4?内为减函数，在区间?6,???上
22为增函数，设f'?x??x?ax?a?1的两根为1,a?1，则4?a?1?6，即5?a?7，?a的取值范围为?5,7?.
试题解析：函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，又因为函数在区间(6，＋∞)内为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5,7].
18.已知数列{an}，a1?111,a2?,a3?,...且Sn为该数列的前n项和. 1?44?77?10（1）写出数列?an?的通项公式；
（2）计算S1,S2,S3，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明； （3）求数列?an?的前n项和Sn的取值范围. 【答案】（1）an?【解析】 【分析】
1n11；（2）Sn?，证明见详解；（3）Sn?[,).
(3n?2)(3n?1)3n?143（1）根据题意直接写出?an?的通项公式；（2）S1?a1，由S2?a1?a2求得S2，同理求得
S3.接着猜想Sn?n,n?N?，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设3n?1Sk?k，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立.（3）3k?1对Sn的表达式进行变形化简，利用求函数值域的方法即可求得. 【详解】（1）根据题意可得an?（2）S1?1；
(3n?2)(3n?1)11?； 1?44112S2???；
44?77213S3????；
77?1010n. 3n?1可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n?1.于是可以猜想Sn?下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
1， 4n11??，猜想成立. 右边?3n?13?1?14①当n?1时，左边?S1?②假设当n?kk?N?*?时猜想成立，即
1111k?????? 1?44?77?10(3k?2)(3k?1)3k?111111?????? 1?44?77?10(3k?2)(3k?1)[3(k?1)?2][3(k?1)?1]?k1? 3k?1(3k?1)(3k?4)3k2?4k?1? (3k?1)(3k?4)?(3k?1)(k?1)
(3k?1)(3k?4)?k?1.
3(k?1)?1所以，当n?k?1时猜想也成立.
根据（1）和（2），可知猜想对任何n?N*都成立.
n11?（3）由（2）知3n?13?1，因为n?N*，所以0??1，
nn1111??13， 则3?3+?4，即43+nn11所以Sn?[,).
43Sn?【点睛】本题考查了数列知识与数学归纳法的应用，用数学归纳法证明数列有关问题是很常见的题型，关键是假设当n= k时，命题成立，来证明当n= k+1命题也成立，对于本题来说，计算化简是本题的关键.
19.设函数f(x)?2ax?（1）求a,b的值；
（2）若存在x0?[,1]，使得不等式f(x0)?c?0成立，求c的取值范围. 【答案】（1）?,?；（2）??ln2,???. 【解析】 【分析】
（1）由真数大于零求出函数的定义域，再求出函数的导数，由取得极值的必要条件得
b1?lnx，若f(x)在x?1,x?处取得极值. x2141313?1?3???1?f?(1)?0,f????0，列出方程组进行求解；
?2?f(x)min，再由导数的符号确定函数在已知区间上（2）由f?xo??c?0成立，转化为c…的单调性，进而求出函数的极值，再求出区间端点处的函数值进行比较，求出函数的最小值. 【详解】（1）f(x)的定义域为(0,??)，因为f(x)?2ax?b?lnx，所以xf?(x)?2a?b1?. 2xx因为f(x)在x?1,x?1???1?f(1)?0,f处取得极值，所以???0. 2?2?1?a????2a?b?1?0?113即?解得?，所以所求a，b的值分别为?,?.
33?2a?4b?2?0?b??1?3?f(x)min， （2）在?,1?上存在x0使得不等式f?xo??c?0成立，只需c…?1??4?2112x2?3x?1(2x?1)(x?1)由f(x)???2???. ??2233xx3x3x??11?x?所以当?,?时，f?(x)?0，f(x)是减函数；
?42?当x??,1?时，f?(x)?0，f(x)是增函数；所以f??1??2??1??1?,1?上的最小值.是f（x）在??42????111?1?1f??ln??ln2，所以c…?ln2. 而??233?2?3所以c的取值范围为??ln2,???.
【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及恒成立转化问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，恒成立问题中结合具体问题实现正确转换为最大值和最小值是关键.
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甘肃省临夏中学2018 - 2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）
