华南理工大学2010数学竞赛试卷
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请直接
号位座
业专
___________院__学
________
号学
名姓
答在试卷上；
3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共
8 大题，满分100分，
考试时120分钟。
一、计算下列各题（每小题
6分，本大题共36分）１.求极限lim1n
n
n
1
n
e
)
解
原式
题nln1
1n
1
ee1
nln1
11
答
lim
n
1
x
x
1x1
n
1elim
n
1elim
ln1
x
0
x2
elimx0
不2x
n
n
内1
线２.求极限lim
xnex
ne
x
dx
0
1
封xnex
密解由于0
(
e
x
1
xn
,x
0,1
1
n
x
1
故
0limxe
n
1n
xdxn
xdx
limn
由夹逼准0e
1lim
0
n1
0
,从而1
n
x
limxen
xdx0e
10x
３.求极限
x
lim1
xttdt,其中t
为不超过t的最大整数.
0
xx
x1
1
解
由于
2xt
tdt
ttdt
ttdt
1x10
0
0
2
2
x
1
x
1
x
x
x
1 / 6
间
e2
则
故由夹逼准则
1limx
x
x
t
0
tdt
12
４.在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数
fx
1sint32dt
t02
x
解
f0
由于
3,f
x
1sinx2x
2
,f0
12
,fx
2xcosx2x1sinx
2x
22
2
,f0
12
从
fx
而
f0
可
f01!
4
用
x
f
泰
02!
x
2
勒
3
12x
多
14x
2
项式近似为
５.计算
a
2
cosxxdx21e
a
解可得
由
a22
fxdx
0
4
fxfxdx31422
2
cosx1ez
c
x
dx
20
cosxdx
4
316
y
2
６.计算交线解
c2
y
2
ds,其中c为球面x
z
2
R
2
与平面
xyz
0的
zy
2
ds
c
zds
c
yds,由曲线的轮换对称性可得
2
z
c
yds
13
c
zxyds
13c
(y
2
z
2
x)ds
2
0
13
c
Rds
2
23
R
3
二、（本题导,f1解：原式
8分）设fx在x1点附近有定义，且在
2,求lim
x
x1点可
0,f1
fsinxx
2
2
cosx
0
xtanx
。
2 / 6
limx0
fsinxcosx
f1sin2xcosx1
22sinxcosx1xxtanx
1
n
2
sinxcosx1
22xxf1limx01
1tanx
x
n
2
12
三、（本题10分）证明
x
2
Pnx
d
n
2n!dx
0
x
2
1,n
n
0,1,2,L
满足关系式
1Pn
x
2xPnxnn1Pnx
证设z
n12
x1,nn
2n!
0,1,2,L
,则z
n12
x1n
2n!
1
2nx,2nxzx
2
1z
两边再求n1阶导数,得
2nxz
n1
2nn1z
2
n2
n
x
n1
2
1z
n2
2xn1z
n
n1
2
nn12!
z
n
从而x因为z故
x
2
1zPn
2xzx,z
nn1zPx,zn
n
0Pnx
0
n2n1
1Pn
x
2xPnxnn1Pnx
四、（本题10分）设函数fx在0,1上连续，在0,1内可微, 且
f0
f1
0,f
12
1。证明：(1)存在
12,1
使得f; (2)存在
0,
使得f
fx
0,F
12
f1
x,则Fx
1
12
证且
f
(1)设Fx
F1
01
在0,1上连续，
,存在
12,1
0,从而有零点定理
使得
;
fxfx
1xe
x
(2)设Gx且Gx
,则Gx在0,1上连续，在0,1内可微,
xe,G0
x
fx0,
G()0
flnx
2
由罗尔定理,存在五、（本题
10
使得G0,即f
ft,t
1y
2
分）已知u
3 / 6
z
2
满足
2
u
2
2
u
2
2
u
2
3
xyzt
x
2
y
2
z
2
2
,求ft
t
x
x
2
2
2
2
解ux
f
xx
2
2
y
2
z
2
,uxx
f
y
2
2
ft
yx
2
2
zy
2
xz
22
z
2
22
,
2
从而
ft
u
2
u
2
2
u
2
fx
2
2
fy
12
xyzz
2
x
2
yz
32
ftx
2
yzc1
2
2
e
t
t
, 从而r
t
2
r
0,r10,r2
1,y
*
ate
t
代入,
解之得a
1,ft
c2e
te
六、（本题10分）设fx,y在区域D上有连续偏导数,且满足关系
2
式
f
2
2
f
2
xy
0, 证明：（1）等式
?f
c
fn
ds
D
fx
2
fy
2
dxdy成立，
其中曲线c为区域D的边界，
r
n为c的外法线方向；（2）若fx,y
在
c上恒等于零，则
fx,y
在区域D内也恒等于零
rt
cos,cos
证（1）设单位切向量为
rn
cos,sinfn
fxcos
，则外法线单位法向量为
，
fycos
fnds
c
从而
等式左边由
格
ffx
D
x
蜒
c
ff
fxcosfycos
ds
?
c
ffydxffxdy
林
ffy
y
公
dxdy
D
式
f
2x
，
f
2y
等
ffyydxdy
式左边
ffxx
再由已知可得，左边=右边（2）由已知
D
fx
2
fy
2
dxdy
f?
c
fn
ds0
4 / 6
从而
fx,y
fx
2
fy
2
0,
fx
fy
0,fx,y
为常数，再由于边界上
0，
0
x
2
因此fx,y
七、（本题8分）计算中是解取
xa
22
y
2
dydzy
2
zdzdx
2
z
2
x
2
dxdy。其
yb
2
zcxa
22
22
2
1z
22
0
的上侧
1
:z0,
yb
1
下侧
2x
2y
2zdv
x
22
则原式
1
1
x
yb2
22
2
dxdy
a
C
22
1
2zdv
x2a2
y2b2
1
xdxdy
2
2z
0
ab1
zc
1
dz
0
d
0
arcos
222
abrdr
12
abc
2
14
ab
r
3
七、（本题8分）假定一个半径为的雪球，其融化时体积的变化
k
0。已知两小时内融化其
率正比于雪球的表面积，比例常数为
体积的四分之一，问剩余部分需要多少小时才能全部融化。解
由已知
dV
dt
k4r,V
r0431kt
3
2
43drr,3dt
k,r
ktc，
令t0时r
r0，则r
由已知t2时r
k
121
3
r0
2k,
r0
34
2k
3443
r0
3
，得
r0
2k
3
34
r0，
34
r0，r
r0
12
3
r0t
21
3
从而，从开始到全部融化所需时间为
t
34
21.87
5 / 6
华南理工大学数学竞赛试卷
