一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的一元二次方程x??2k?1?x?k?3?0有两个实数根．
22?1?求k的取值范围；
?2?设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12?x22?23，求k的值．
【答案】（1）k?【解析】 【分析】
13；（2）k??2． 4?1?根据方程有实数根得出?[??2k?1?]2?4?1?k2?3??8k?5?0，解之可得．
???2?利用根与系数的关系可用k表示出x1?x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方
程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：?1?关于x的一元二次方程x??2k?1?x?k?3?0有两个实数根，
2222??0，即[??2k?1?]?4?1??k?3???4k?13?0，
解得k?13． 4?2?由根与系数的关系可得x1?x2?2k?1，x1x2?k2?3，
2?x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2?(2k?1)2?2k2?3?2k2?4k?7， 2x12?x2?23，
???2k2?4k?7?23，解得k?4，或k??2，
k?13， 4?k?4舍去， ?k??2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax?bx?c?0(a?0,a，b，c为常数)根的判别式.当?0，
2方程有两个不相等的实数根；当?0，方程有两个相等的实数根；当?0，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
2．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元
【解析】 【分析】
表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】
设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000． ∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元． 【点睛】
本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.
3．观察下列一组方程：①x2?x?0；②x2?3x?2?0；③x2?5x?6?0；
④x2?7x?12?0；?它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一
元二次方程为“连根一元二次方程”．
?1?若x2?kx?56?0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； ?2?请写出第n个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】
(x－8)＝0，解得x1＝解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·7，x2＝8.
(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
4．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=______． 探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2=
2?3=3条线段，23?4=6条线2a?a?1?2线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
a?a?1?2条线段，棱AC
2?3=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为2a?a?1?2×3×1=
3a?a?1?2．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2+3=
a?a?1?2条线段，棱AC
3?4=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 2（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有
a?a?1?2条线段，棱
AC上有
b?b?1?2
2?3=3条线段，则图中长方体的个数为2条线段，棱AD上有1+2=
3a?a?1?b?b?1?2×
2×3=
3ab?a?1??b?1?4．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有
a?a?1?2条线段，棱AC
上有
b?b?1?2______．
条线段，棱AD上有1+2+3=
3?4=6条线段，则图中长方体的个数为2
（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）探究三：（8）
a?a?1?2 ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；【结论】：①
ab?a?1??b?1?4 ；
3ab?a?1??b?1?2abc?a?1??b?1??c?1?8 ；【应用】：
180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论； (应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论； (拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有
a?a?1?2线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
，
则图中长方体的个数为
a?a?1?2 ×1×1=
a?a?1?2故答案为
a?a?1?2 ；
探究二：（5）棱AB上有段，
则图中长方体的个数为故答案为3a（a+1）； （6）棱AB上有
a?a?1?2 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线
a?a?1?2 ×6×1=3a（a+1），
a?a?1?2 条线段，棱AC上有
×
b?b?1?2条线段，棱AD上只有1条线段，
，
则图中长方体的个数为
a?a?1?2；
b?b?1?2×1=
ab?a?1??b?1?4故答案为
ab?a?1??b?1?4探究三：（8）棱AB上有线段，
则图中长方体的个数为
a?a?1?2 条线段，棱AC上有
b?b?1?2条线段，棱AD上有6条
a?a?1?2；
×
b?b?1?2×6=
3ab?a?1??b?1?2，
故答案为
3ab?a?1??b?1?2a?a?1?2(结论)棱AB上有段，
条线段，棱AC上有
b?b?1?2条线段，棱AD上有
c?c?1?2条线
则图中长方体的个数为
a?a?1?b?b?1?c?c?1?abc?a?1??b?1??c?1?2×
2；
×
2=
8，
故答案为
abc?a?1??b?1??c?1?88(应用)由(结论)知，
abc?a?1??b?1??c?1?，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
2?3?4??2?1???3?1???4?1?8=180，
备战中考数学备考之一元二次方程压轴突破训练∶培优 易错 难题篇(1)
