1 绪论
随着计算机技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动 控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高 劳动生产率做出了重要贡献。
倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地 检验众多控制方法的有效性。对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非 线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。这不 仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因 为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制 理论和方法因而层出不穷。各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象 平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而 使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。 倒立摆系统的分类
随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展 为多种形式。目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。 考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型 1）小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)
小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。其中，摆杆可以是一级、 两级、三级、四级甚至多级。摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度 也可能是变化的。控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车 在期望的位置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。 2）旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)
旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动 旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。旋转倒 立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定， 增加了控制的难度。
3）平面倒立摆系统
在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。小车倒立摆的摆杆底端运动轨迹是直线，旋转 倒立摆的摆杆底端运动轨迹是圆周，而平面倒立摆的摆杆底端在二维平面内无 固定的运动轨迹，这也是它与前两种倒立摆的主要区别。 4）柔性倒立摆系统
在柔性倒立摆系统中，由于将匀质刚体摆杆换成了柔性摆杆，这种倒立摆 的摆杆本身已经变成了非线性分布参数系统。 5）直线柔性连接倒立摆系统
所谓直线柔性连接倒立摆系统，就是在直线刚性倒立摆的基础上，加入自 由弹簧系统:电机连接一个主动小车，而主动小车通过一根弹簧作用于从动小 车，对固定在从动小车上的倒立摆实施控制。 设计内容及要求 设计内容：
1. 构建单级旋转倒立摆模型；；
2. 实现单级旋转倒立摆摆杆的稳定控制；； 3. 基于MATLAB完成稳定控制仿真； 基本要求：
1． 摆角稳定控制范围：?10o???10o； 2． 旋臂转角可在0o:360o进行控制。
课题研究的意义
倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有较为简单的结构、可以有效地检验众多控制方法的有效性、参数和模型易于改变、相对低廉的成本等优点，研究控制理论的很多科研人员一直将它们视为主要的研究对象，用它们来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性以及在非线性控制领域中的无源性控制、变结构控制、非线性观测器、自由行走、非线性模型降阶、摩擦补偿等控制思想，且从中不断开发出新的控制方法和控制理论，所以倒立摆系统是研究智能控制方法较为理想的实验装置。不仅如此，倒立摆系统也是进行控制理论教学的理想平台。很显然，这种实验教学方法难以培养学生综合素质和实践能力。所以必须在实验环节的内容和形式上进行改革与创新，以培养学生的创新意识和实践动手能力。因此，进行设计性、开放性的综合实验具有极其重要的现实意义。 本人侧重点
本人主要工作是旋转倒立摆系统的lagrange方程建模及性能分析。倒立摆系统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要的意义.而倒立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对倒立摆系统的稳定控制相当成功,并可在此基础上对其进行分析,为计算机控制提供理论与实践的依据.
2 旋转倒立摆系统的Lagrange方程建模与可控性分析
在建立倒立摆系统的模型时，传统的方法一般采用牛顿运动定律来求解。但在用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，常常要列解大量的微分方程组。在许多实际问题中，求解微分方程会遇到困难。特别是当质点组存在约束情况时，还需要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更为困难。
为了简化旋转倒立摆系统的数学建模过程，本章采用了分析力学中的 Lagrange方程推导旋转倒立摆的系统模型，并对该系统的可控性进行了分析。首先，在第节中分析了Lagrange方程的物理意义和特点;接下来，在第节中讨论了旋转式
倒立摆系统的特点，对倒立摆系统进行了动力学分析;然后，在第节中根据Lagrange方程运用动力学理论对旋转倒立摆系统建立数学模型;随后，在第节中分析了旋转倒立摆系统模型中的非线性因素以及局部线性化带来的问题;最后，在第节中对旋转倒立摆系统的可控性进行了分析。 Lagrange方程及其特点
Lagrange方程是分析力学中的一个重要方程，它不仅在理论上揭示了系统的最小势能原理，在实用上也有很大价值。分析力学是理论力学的重要组成部分，主要从能量角度来研究力学体系的运动规律，把系统作为一个整体来考察，用动能和势能的标量函数来描述系统，使很多受理想约束的非自由质点系动力学问题的研究和求解过程大为简化。当系统的动能和势能的表达式可求的情况下，使用Lagrange方程可以使系统动力学方程的形式和求解变得很简单。
???设q1,q2,...qn为系统的广义坐标;q1,q2,...qn为系统的广义速度，即广义坐标对时
间的导数;H是用广义坐标和广义速度表示的系统功能;Q1,Q2,...Qn为对应于各个广义坐标的广义力，则系统的运动满足下列方程组：
d?H?H()?Qi?() （i=1,2...n） (2-1) ??dt?q?qii 上式为Lagrange方程的一般形式。其物理意义为广义动量对时间的变化率等于系统广义力和拉格朗日力之和。
?H叫拉格朗日力，表示惯性力的投影。广义力?qiQi的物理意义主要决定于广义坐标的量纲,例如，当qi表示长度时，则Qi表示作用
力；当qi表示面积时，则Qi表示表面张力；当qi表示体积时，则Qi表示应力；当qi表示转角时，则Qi表示力矩。
当作用于系统的主动力为保守力，即系统为保守系统时，可将方程写为
d?H?H()?()?0 （i=1,2...n） （2-2） dt?q??qii 这里H为系统的动能T和势能V之差（H=T-V）。在分析力学中称H为Lagrange
函数。
为减少实验的盲目性，简化系统的建模过程，采用Lagrange方程推导旋转倒立摆的系统模型。Lagrange方程有如下特点:
1)它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统自由度数是一致的。
2)理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
3 ) Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量--系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量--广义力。因此用拉格朗日方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。 2．2旋转倒立摆的特点及系统动力学分析 2．2．1旋转倒立摆的特点
目前在倒立摆的研究中，以小车式倒立摆为控制对象的文章很多。人们对于小车驱动式倒立摆的研究进行的比较深入，提出了多种不同的控制算法，为控制理论的发展做出了重要贡献。但是，小车式倒立摆在机械系统上需要有很长的导轨，这占用了较大的空间。另外，由于小车式倒立摆有着繁多的传动机构，在实验过程中经常因为机城系统的误差和故障影响控制效果，从而干扰对控制算法本身性能的有效判断。
旋转式倒立摆与小车式倒立摆不同，出于将小车的平动控制改为旋臂的旋转 控制，在硬件结构上减少了中问传动机构，使其系统结构更加简单牢固，相对 于小车式倒立摆具有更大的非线性、不稳定性和复杂性，对控制算法提出了更高 的要求。
在本文中我们研究的是一种新型的旋转倒立摆装置。作为一种新型的倒立摆 装置，旋转倒立摆系统主要有以下四个特点：
(1)不确定性：主要是由模型的参数误差以及机械传动过程中的减速齿轮间 隙所导致。但是与小车倒立摆系统相比，由于没有了导轨上用于拖动小
环形一级倒立摆设计
