(2)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
3
如图丙所示，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等
4效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍． (4)微元法：将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强． 点电荷电场中场强的计算
【例4】．(2018·高考北京卷)静电场可以用电场线和等势面形象描述．
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2.我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小．请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比. 【答案】见解析
【解析】(1)在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷． 根据库仑定律，检验电荷受到的电场力
N1
N2
QqF＝k2
r根据电场强度的定义
FE＝ q得E＝k2. (2)穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比
QrN1E1r22＝＝2. N2E2r1
【变式】如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m．若将电荷量均为q＝＋2.0×10 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×10 N·m/C，求：
－6
9
2
2
(1)两点电荷间的库仑力大小； (2)C点的电场强度的大小和方向．
【答案】(1)9.0×10 N (2)7.8×10 N/C 方向沿y轴正方向 【解析】(1)根据库仑定律，A、B两点处的点电荷间的库仑力大小为
－3
3
q2
F＝k2①
L代入数据得F＝9.0×10 N②
(2)A、B两点处的点电荷在C点产生的场强大小相等，均为
－3
qE1＝k2③
LA、B两点处的点电荷形成的电场在C点的合场强大小为 E＝2E1cos 30°④
由③④式并代入数据得E≈7.8×10 N/C 场强E的方向沿y轴正方向． 补偿法求电场强度
【例5】．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R.已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
3
A．2－E B．2C．2－E D．2＋E 2R4R4R4R【答案】A.
【解析】左半球面AB上的正电荷产生的电场等效为带正电荷为2q的整个球面的电场和带电荷－q的右半球2kq面的电场的合电场，则E＝2－E′，E′为带电荷－q的右半球面在M点产生的场强大小．带电荷－q（2R）2kq的右半球面在M点的场强大小与带正电荷为q的左半球面AB在N点的场强大小相等，则EN＝E′＝2－（2R）
kqkqkqkqE＝
kq2－E，则A正确． 2R对称法求电场强度
【例6】．(2019·陕西渭南教学质量检测)如图所示，在x轴上放置两正点电荷Q1、Q2，当空间存在沿y轴负
向的匀强电场时，y轴上A点的场强等于零，已知匀强电场的电场强度大小为E，两点电荷到A的距离分别 为r1、r2，则在y轴上与A点对称的B点的电场强度大小为
( )
1
A．E B.E C．2E D．4E
2【答案】C
【解析】A点场强为零，说明两点电荷在A点的合场强与匀强电场的场强等大反向，即竖直向上，大小为E，根据对称性，两点电荷在B处产生的合场强竖直向下，大小为E，所以B点的场强大小为2E，方向竖直向下，C正确．
【变式】如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
3q10qQ＋q9Q＋qA．k2 B．k2C．k2D．k2
R9RR9R【答案】B.
【解析】由b点处的合场强为零可得圆盘在b点处的场强与点电荷q在b点处的场强大小相等、方向相反，所以圆盘在b点处的场强大小为Eb＝k2，再根据圆盘场强的对称性和电场强度叠加即可得出d点处的场强大小为Ed＝Eb＋kqRq10q2＝k2，B正确． （3R）9R等效法求电场强度
【例7】．如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z<0的空间，z>0的空间为真空．将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷
hq和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z轴上z＝处的场
2
强大小为(k为静电力常量) ( )
4q4q32q40qA．k2B．k2C．k2D．k2 h9h9h9h【答案】D.
【解析】点电荷q和感应电荷所形成的电场在z>0的区域可等效成关于O点对称的电偶极子形成的电场．所
hqq40q以z轴上z＝处的场强E＝k＋k＝k2，选项D正确．
2229h?h??3h??2??2?????
微元法求电场强度
【例8】．一半径为R的圆环上，均匀地带有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP＝L.设静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中只有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( ) A．
kQ22R＋LB．
kQLkQRkQLD． 2C．223223
R＋L（R＋L）（R＋L）
2【答案】D
【解析】.设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量为
Qq＝ n①
由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强
QQEP＝k2＝k
nrn（R2＋L2）
②
由对称性可知，各小段电环在P处的场强垂直于轴向的分量Ey相互抵消，而轴向分量Ex之和即为带电环在
P处的场强E，故
kQkQLE＝nEx＝n··cos θ＝ 22
n（L＋R）r（L2＋R2）
而r＝L＋R
联立①②③④式，可得E＝
2
2
③ ④
kQL，D正确． 223
（R＋L）
11
【变式】下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝
44缘．坐标原点O处电场强度最大的是
( )
【答案】B
【解析】将圆环分割成微元，根据对称性和矢量性叠加，选项D图中O点的场强为零，选项C图中等效为第二象限内电荷在O点产生的电场，大小与选项A中的相等，选项B中正、负电荷在O点产生的场强大小相等，方向互相垂直，合场强是其中一个的2倍，也是选项A、C场强的2倍，因此选项B正确．
热点题型三 电场线的理解和应用 1．电场线的用途
(1)判断电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反．
(2)判断电场强度的大小(定性)——电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小．
2020年高考物理一轮复习 热点题型归纳与变式演练 专题18 电场的力学性质(含解析)
