来源~@:*^中国教育&出版网
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出∠ABD＝30°是解题的关键．
9．(2019?湖南常德?3分)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数． 【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°， ∴∠ABD＝22.5°．故答案为22.5°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 三.解答题
1. （2019?甘肃庆阳?8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
wwzzste&.co@m（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ 25π ．
6
@wwzzstep.%co*&m
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．
中国教育出&%^#版网
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝∴S圆O＝π?52＝25π．
来源:%@中教网＝5，
来源:@中%国教育出版网
故答案为25π．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2. （2019?广东广州?14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
7
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；
中国教育%出&版网@]
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大； （3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上
ww@#~&epcom来源&zste%#.co@m~]
∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB； （2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2 ∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
8
中@国教育出版网&]
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2
wwwzz&^epcom~]
﹣2）＝6
﹣6 +6
∴S△ABF的最小值＝×6×（2∴S最大值＝×2×3
﹣（6
﹣6）＝﹣3
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
来源&%:zzstep#.co@m
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DG＝
FG＝
来@源:^zzstecom~#]
∵BD2＝BG2+DG2， ∴16＝3+（BF+1）2，
来源zz&ep@.com^]∴BF＝∴BG＝
﹣1
∵EH⊥BC，∠C＝60° ∴CH＝
，EH＝
HC＝
EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴
∴
∴EC＝﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三
9
角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．
10
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题22 等腰三角形(含解析)(002)
