第1讲 选修4－4 坐标系与参数方程
[做小题——激活思维]
1．在伸缩变换?[答案] 椭圆
π?2??7π?2．若直线的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝，则点A?2，?到这条直线的距离是4?24???________．
[答案]
2
2
?x＝3t，?
??y＝2t＋1
2
?x′＝2x，?
??y′＝3y
下，x＋y＝1对应的图形是________．
22
3．已知曲线的参数方程为?________.
[答案] 9
(t为参数)，若点(6，a)在该曲线上，则a＝
4．若点M在椭圆＋＝1上，则点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为________．
94[答案]
5
[扣要点——查缺补漏]
1．曲线的极坐标方程
(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin
x2y2
yθ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和
x平方法等技巧．
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．如T2.
??x＝x0＋tcos α，
2．(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为?
??y＝y0＋tsin α
→
(t为参数)，t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参1
数为(t1＋t2)．
2
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(2)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．如T3.
(3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．如T4.
极坐标与曲线的极坐标方程(5年4考)
[高考解读] 极坐标方程是每年高考的必考内容，既有单独考查也与参数方程综合考查，难度不大，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
π??(2024·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B?2，?，
4??︵︵︵3π??2，C??，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，
4??
︵︵︵?1，π?，(1，π)，曲线M是弧AB，曲线M是弧BC，曲线M是弧CD. ?123
2???
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标． ︵︵︵
切入点：A，B，C，D的极坐标及AB，BC，CD所在圆的圆心． 关键点：确定M1，M2，M3的方程．
︵︵︵
[解] (1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin
θ，ρ＝－2cos θ.
π??所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ?0≤θ≤?，M2的极坐标方程为ρ＝2sin
4??
?θ?≤θ≤
π
?43π??3π?，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ?≤θ≤π?. ?4??4?
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
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ππ
若0≤θ≤，则2cos θ＝3，解得θ＝；
46若若
π3ππ2π≤θ≤，则2sin θ＝3，解得θ＝或θ＝； 44333π5π≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝. 46
π??π??2π??5π??综上，P的极坐标为?3，?或?3，?或?3，?或?3，?.
6??3??3??6??[教师备选题]
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2
的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 3??
[解] (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cos θ由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
2
2
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·?sin?α－??
3
12
????
π??
??
π?3??
＝2?sin??2α－3?－2?≤2＋3.
????π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12所以△OAB面积的最大值为2＋3.
1．求曲线的极坐标方程的一般思路
求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式既可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键．
2．解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是
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2024版高考数学二轮复习第2部分专题7选考4系列第1讲坐标系与参数方程教案(文)选修4_4
