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课时提升作业(十七) 抛物线方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A.有且仅有一条 C.有无穷多条
B.有且仅有两条
D.不存在
【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7， 因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.
【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有 ( ) A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：
12
y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ( ) A.3
B.6
C.9
D.12
c=2,【解析】选B.设椭圆E的方程为2+2=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得{c1
ab=,
x2y2
a
2
解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为
x2y2
+
1612=1，因为抛物线C：y2=8x
1
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旗开得胜 的准线为x=-2，将x=-2代入到B(-2，-3)，故|AB|=6.
x2y2
+
1612=1，解得A(-2，3)，
3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k= ( ) A.
13 B.
√23 C.
23 D.
2√23
【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
y=k(x+2),由{
2
y=8x,
消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0， 所以x1+x2=
2
4(2?k)k
2，x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2， 又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4， 所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得x2+x2-2=0， 所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4， 所以
2
4(2?k)k
22
=5，所以k2=
89，
因为k>0，所以k=
2√23.
4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 ( ) A.
34
B.
32
C.1 D.2
【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，则|MM1|=
|AA1|+|BB1|
2
.|AB|≤
1
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旗开得胜 |AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，|AA1|+|BB1|≥6， 2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2. 【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) A.
√172 B.3
C.√5
D.
92【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F(
12,0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点
F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于
√()+(?2)2=√17.
225.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a= ( ) A.1
B.2 D.1或-1
12C.2或-2
【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手. 【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-由于要使这样的点P是唯一的，
a?14(x-
a+12)上.
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人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十七) 2.3.2.2 探究导学课型 Word版含答案
